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Eine gegebene Curve Q 9 kann von den Curvcn eines In 

 derselben Ebene gegebenen Büschels B(P P ) In >/(// + 2 p — 3) 

 Punkten It berübrt werden, welche allemal mit den 3(/> — l)* 

 Doppelpunkten des Büschels B(P P ) zusammen in einer Curve 

 jl? + 2p-3 liegen. — Sind in derselben Ebene irgend zwei Cur- 

 venbiischel Ii{P p ) und B(Q 9 ) gegeben, so ist der Ort des 

 Punkts Ji, in welcbem sieb je zwei Curvcn beider Büschel be- 

 rühren, eine Curve vom 2 /-> -f- 2 «/ — 3 ,cn Grad; und die Anzahl 

 derjenigen Punkte /i,, in welchen sieb zwei Curvcn P p und Q 9 

 osculiren, ist 



= 3 [O -f- </) (f> -r- V - 6) -|- 2 pq -f- 5]. 

 Sind in einer Ebene drei beliebige Büschel B(P P ), B(Q 9 ) und 

 B(Ii r ) gegeben, so ist die Zahl derjenigen Punkte, in welchen 

 je drei dieser Curven einander berühren, im Allgemeinen 



= •* (p'i H- pr ■+■ '!•') -f'(/' + '/ + r_1 )' 



Für die Curvcn 3 len und 4 lcn Grads insbesondere ergeben 



sich aus der obigen allgemeinen Betrachtung viele, zum Theil 



ganz neue interessante Eigenschaften, wie leicht zu ermessen. 



Namentlich treten hier wiederum eigenthümliche Relationen der 



die n — x Xt , d. i. die rcciprockc Polare genommen, so müfste diese die ge- 

 gebene Curve D r sein; nach der allgemeinen Formel (5.) ist sie aber, wenn 

 /•(/• + 2. r — •?) (n — .r) = s gesetzt wird, eine Curve vom s[s + 2 (n — x) — ?].r ,cn 

 Grad. Hier ist also der scheinbare Widerspruch noch auffallender, als bei 

 der gewöhnlichen Polarität, wo die Basis nur ein Kegelschnitt, und für 

 welchen Fall er durch Poncelet aufgeklärt worden. liier wird das Para- 

 doxon wie folgt erklärt. 



Die erste Polare von D r , in Bezug auf die Basis A", ist E\ (r — ')(• — 1 ) ) 

 und für die n — i u Polare von dieser giebt die Formel (6.) 



rT(r— I) (»— lr(r- I) („_ ,) + an — 5] 



J - , 7J — I 



statt dafs sie, vermöge der Beciprocität, blofs die ursprüngliche Curve D r 

 geben sollte. Dieses Wundersame klärt lieh nun dadurch auf: dafs die 

 Curve E K _ t 



1) aus (/•— i) ? Mal der Curve D r nebst deren 3 /•(/•— 2) Wendungslan- 

 genten und \ /■(/•— 2) /• , — 9) Doppellangenten, wobei noch jede Wen- 

 dungstangente als eine 3 fache und jede Doppeltangente als eine 2 fa- 

 che Gerade zu zählen ist, also aus (/•— 1) 2 x (V + 2 d+ 3 iv), und 



2) aus den .!/■(/•— 1) (h— i)(k — 2) gemeinschaftlichen Tangenten der 

 Curve D r und der kerneurve P 



besteht. 



