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Seit man bei dem Begriffe der Funktion, von der Nolhwen- 

 dlgkelt der analytischen Zusammensetzung abgehend, das "SVesen 

 derselben in die tabellarische Zusammenstellung einer Reihe von 

 zugehörigen Wcrthen mit den Werlhen des oder der (mehrerer) 

 Variabein zu setzen anfing, war es möglich, auch solche Funk- 

 tionen unter diesen Begriff mit aufzunehmen, welche aus Bedin- 

 gungen arithmetischer Natur entspringend nur für ganze Werlhe 

 oder nur für gewisse aus der natürlichen Zahlenreihe hervor- 

 gehende Werthe und Werth-Combinationen der In ihnen vor- 

 kommenden Variabein einen bestimmten Sinn erhalten, während 

 sie für die Zwischenv'verthe entweder unbestimmt und willkürlich 

 oder ohne alle Bedeutung bleiben. 



Untersuchungen über die höheren Reclprocltätsgesetze für 



Potenzreste mit beliebigem Exponenten führten den Verfasser 



auf eine neue Gattung solcher zahlentheoretischen Funktionen, 



welche von zwei Elementen abhängen und durch gewisse lineare 



Funktional- Gleichungen definlrt werden, deren Auflösung, auch 



abgesehen von ihrem Gebrauche in der Theorie der höheren 



I Potenzreste, als das erste Beispiel dieser Art hinreichendes In- 



I terresse für eine besondere Mittheilung darzubieten scheint. Die 



j Bedingungen, welchen die zu behandelnde Funktion genügen 



soll, sind die folgenden: 



1) /(m,n) ^f(m^m-i-n) -t-/(ni-t-n,n), wenn m-f-n ?%; 



2) /(w, n) := n, wenn m-t-n =?.; 



3) /(w, ;j) = , wenn m -f- n > /. , 



in denen rn und n als positive ganze Zahlen vorausgesetzt werden, 

 ! und Ä eine gegebene ungerade Primzahl bedeutet. 



Die recurrlrende Bildung der Werthe einer solchen Funk- 

 j tion, welche für die numerische Berechnung derselben wichtig 

 ist, geschieht unmittelbar nach den Definitlonsglelchungen und 

 zwar am bequemsten wenn man von dem grölslen Werlhe der 

 Summe rn ■+■ n der beiden Variabein aus- und zu Immer kleine- 

 ren Werthen dieser Summe zurückgeht. Das Tableau der Werthe 

 der Funktion f(rn, n) wird z. B. für X = 13 bei quadratischer 

 Anordnung und wenn man nur diejenigen Werlhe von rn und n 

 aufnimmt, die <: >■ sind: 



