39 



leicht mit Beachtung des Umstandes, dafs auch die Summe m+n 

 diesen Theiler enlhäll, dafs dann immer /(rn, n) = sein wird. 

 Interessanter als dieser Nebenfall zeigt sich der Hauptfall, wenn 

 m zu n relative Primzahl ist. Das auf diesen bezügliche Resul- 

 tat soll hier aufgestellt und sodann durch wirkliches Einsetzen 

 in die Gleichungen (1.), (2.) und (3.) verificirt werden, da die 

 Analyse, welche zu demselben geführt hat, sich weniger fiir eine 

 kurzgefafste Mittheilung eignet. 



Sind m°, n° die kleinsten Lösungen der unbestimmten Glei- 

 chung 



bezeichnet ferner r alle ganze Zahlen, welche der Ungleichheil 



, n° r rn'' 



5) - < - < 



n /■ rn 



Genüge leisten, so wird 



6) / (m, n) = 'X — (mod ?.), 



wo die Summatlon sich auf die eben defmirten Werthe von r 

 bezieht, und die Nenner in den Brüchen -J- vermittelst mod X 

 fortzuschaffen sind, so dafs also nach der Bezeichnung von Gaufs 

 in Disq. Arithm. f (rn, n) = der Summe der numeri socii der- 

 jenigen Glieder eines Restensystems (mod ?.) wird, welche zwi- 

 schen den Grenzen — X und ~ ?. liegen. 



Die zu leistende Verification dieses Resultates ergiebt sich 

 in Bezug auf die Gleichung 1) unmittelbar daraus, dafs m'^,n° 

 resp. in m°, m'^ -t- tf übergehen, wenn bei unverändertem m 

 das zweite Element n der Funktion In m-^-n verwandelt wird, 

 dafs aus m°, n^ resp. m'^-h n^, n° wird, wenn umgekehrt bei 

 unverändertem n statt des ersten Elementes rn -i- n geschrieben 

 wird, indem 4) auch auf die beiden folgenden Arten dargestellt 

 werden kann: 



(m -f- n) m° — m (rn'^ -f- /2°; = 1 , 



n (rrP+ ri'') — (rn -+- n) n"" = 1 , 

 und daraus, dafs ferner, dem entsprechend das Intervall von -- 



bis — für die Werthe von — in die beiden Theil-Intervalle von 



n" . m" + ii" ni" + n° . m" 



— bis und von bis — zerlegt werden kann. 



