40 



welche letzleren auf die Summation in 6) bezogen die Wcrlhe 

 von /(m-i- /j, «) resp. /(w,77i-f-/j) liefern. Die Verification für 

 die 2) ergiebt sich daraus, dafs, wenn m-i-n = X ist, bei der 



eben angegebenen Zerlegung des Intervalls von — bis — , an 



n m 



der Trcnnungsstelle der Bruch = — mit dem Nenner 



° m + n X 



}. erscheint, für welchen r = m° ■+■ n° also wegen n (m°-+- n^) — 

 >.;i° = l, was aus 4) hervorgeht, -^ = n (mod A) wird, und dafs 

 dieser Bruch zugleich der einzige mit dem Nenner X ist, der 

 sich Innerhalb jenes Intervalles befindet; für 3) endlich daraus 

 dafs sich, wie aus der Theorie der Kettenbrüche bekannt, zwl- 



sehen den Grenzen — und — kein einziger Bruch von der 

 n m ° 



Form — befinden kann, dessen Nenner ?. von m ■+- /j an Gröfse 

 übertroffen wird. Diese Verification vertritt vollkommen die 

 Stelle eines Beweises, da die Funktion f(rn,i>), wie aus der 

 recurrirenden Bildungswelse erhellt, durch 1), 2), 3) vollkom- 

 men bestimmt und für alle positiven ganzen Werthe von m und 

 n gegeben ist, also eine Funktion, von der man a posteriori 

 nachweisen kann, dafs sie jenen Bedingungen genügt, die einzig 

 richtige sein nuifs. 



Auf dieselbe Art kann man zeigen, dafs die Summe 

 2F(r'), in der r' den Inbegriff der Werthe von -7 (mod X) < A 

 bedeutet, und die Summation durch dieselbe Ungleichheit 5) 

 beschränkt wird, eine Funktion darstellt, welche den Bedingun- 

 gen 1) und 3) Genüge leistet, während an Stelle von 2) die 

 allgemeinere /(w,n) = F(aj) für den Fall m -}- « = A zu setzen 

 ist; F (n) Ist eine beliebige aber gegebene Funktion eines Va- 

 riabein. Diese Resultate erleiden nur eine geringe Modification, 

 wenn statt der Primzahl X eine beliebige zusammengesetzte Zahl 

 gewählt wird; die Werthe von r sind dann aufser der Ungleich- 

 heit 5) nur noch der Beschränkung zu unterwerfen, mit jener 

 Zahl keinen gemeinschaftlichen Theller zu haben, welche für 

 eine Primzahl A von selbst erfüllt ist. 



Der Werth von /(l, 2) der durch 6) gegebenen Funktion 

 oder wenigstens sein Rest (mod A) läfst sich durch wirkliche 

 Summation auf eine sehr einfache Form bringen. Da für diesen 



