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Fermatsclien Leiirsatzes, welclien ich der Akademie der Wis- 

 scnsclmften vor drei Jahren niitzutheilen die Elire gehabt 

 habe, ist es mir gelungen die allgemeinen Hcciprocitätsgesetze 

 fiir beliebig hohe Polenzreste zu entdecken, welche nach dem 

 gegenwärtigen Stande der Zahlenlheorie als die Hauptaufgabe 

 und die Spitze dieser ^^ issenschaft anzusehen sind. Durch be- 

 sondere mit Hülfe des Canon nriilimeticus angelegte Tabellen 

 habe ich sodann die Richtigkeit der gefundenen Gesetze für 

 fünfte, siebente und drei und zwanzigste Polenzreste, für ziem- 

 lich ausgedehnte Grenzen der coniplexen Primzahlen, nachgewie- 

 sen. Ich Unterlids damals die üffenlliche Ijckanntniachung der 

 von mir gefundenen Gesetze, weil ich von der Auffindung eines 

 allgemeinen Beweises derselben nicht weit entfernt zu sein glaubte 

 und theilte sie nur an Hrn. Lejeiine-Dirich lel, in einem Schrei- 

 ben vom 20. Januar 1848, und durch diesen an Hrn. Jacob i 

 mit, zugleich mit den berechneten Tafeln, welche ihre Richtig- 

 keit nachwiesen, so weit diefs eine ziemlich umfangreiche In- 

 duction vermag. Meine Hoffnung die vollständigen Beweise zu 

 finden, ist seitdem nicht erfüllt worden, theils wegen anderwei- 

 tiger Beschäftlginigen, welche mich von diesen Studien abgezogen 

 haben, vorzüglich aber wohl wegen der in der Sache liegenden 

 Schwierigkeilen, welche zu überwinden ich nicht vermocht habe. 

 Da aber die Kennlnifs dieser Gesetze einen nicht unbedeutenden 

 Schritt zur Auffindung eines Beweises derselben zu bilden scheint, 

 so habe ich mich entschlossen, im Interesse der Wissenschaft 

 durch Mittheilung an Eine Hohe Akademie der Wissenschaften 

 sie zu einem Gemeingule aller Mathematiker zu machen, welche 

 an der Fortbildung der Zahlentheorie arbeiten. Aufser dem 

 Ueciprocilätsgesetze fiir zwei beliebige complexe Primzahlen habe 

 ich auch die Gesetze über den (.harakter der complexen Ein- 

 heilen, so wie auch der Zahl, uehhe der Exponent derjenigen 

 Potenz ist, in Bczlehmig auf welche der Charakter betrachlet 

 wird, und der complexen Primfaktoren dieser Zahl durch allge- 

 meine Methoden nicht allein gefunden, sondern auch in voll- 

 kommener Strenge hergeleitet. Diese die Ergänzungsfälle des 

 Pieciprocitätsgesetzes ergründenden Mellioden, mit den Hauptre- 

 sultaten, N^erde ich mir ebenfalls erlauben in der Kürze dar- 

 zustellen. 



