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Ich betrachte In dem Folgenden die Potenzreste nur in 

 Beziehung auf solche Potenzen, deren Exponenten jungrade Prim- 

 zahlen sind. Es bezeichne daher X eine ungrade Primzahl und 

 « eine ?." Wurzel der Einheit, d. h. eine imaginäre Wurzel 

 der Gleichung n^ = i. Die Reclprocitätsgesetze für die A'°" Po- 

 tenzreste und NIchtreste werden am einfachsten für die aus ?."" 

 Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Primzahlen darge- 

 stellt, welche zum Thell wirklich zum Theil aber ideal sind. 

 Das dem Legendreschen Zeichen für quadratische Reste analog 

 gebildete Zeichen: 



{^^=H-) ' =«% Mod./(«), 



in welchem Nf(ct) die Norm von /(et) bedeutet, hat aber nur 

 dann einen bestimmten Sinn , wenn ^ («) eine wirkliche com- 

 plexe Zahl ist, /(«) aber, welches hier nur als Modul und in 

 iV/(rt) vorkommt, kann ebensogut eine ideale als wirkliche Prim- 

 zahl sein. Damit nun dieses Zeichen, auch wenn 0(«) ideal ist, 

 eine bestimmte Bedeutung habe, erhebe ich cp («) zu derjenigen 

 Potenz, welche diese ideale Zahl zu einer wirklichen macht, diefs 

 sei die ä" Potenz, und ich definire, es soll sein: 



7^) = «% Mod./(«), 



wenn (</)(«) ) ^ ^=- "", Mod./(rt), und y. ^hy., Mod. X. 

 Diese Zurückrührung des Charakters der idealen Zahl '/'(<^) auf 

 den der vt'irkllchen Zahl ipi^cc)'' setzt nothwendig voraus, dafs h 

 nicht durch A theilbar ist, denn wenn dIefs der Fall wäre, so 

 würde y aus der Congruenz ;< = ä;>< , Mod. A, sich nicht bestim- 

 men lassen. Demgemäfs werde ich hier das Reclprocitätsgesetz 

 nur für diejenigen X"=" Potenzreste aufstellen, für welche A die 

 Eigenschaft hat, dafs keine A'" Potenz einer aus A'^" Wurzeln 

 der Einheit gebildeten complexen idealen Zahl zu einer wirkli- 

 chen wird. Diese Bedingung fällt, wie Ich in meinem Beweise 

 des Fermatschen Satzes im Octoberhefte des Jahrganges 1847 

 der Monatsberichte gezeigt habe, mit der zusammen, dafs die 

 Anzahl aller nicht äquivalenten Klassen der aus A"" Wurzeln der 

 Einheit gebildeten idealen complexen Zahlen nicht durch A theil- 

 bar sei, und ist, wie ich ebendaselbst gezeigt habe, identisch mit 



