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plexen Primzahlen gültig ist, welche Prlmfactoreii der realen 

 ganzen Zahlen bis 200 sind. Für die siebenten Potenzreste habe 

 ich die Gültigkeit desselben Gesetzes nachgewiesen für je zwei 

 aller complexen Primfactoren der realen ganzen Primzahlen von 

 der Form 7/i-t- 1, welche nicht gröfser als 200 sind. Dagegen 

 habe ich mich von der P\ichtigkeit desselben für die Primfacto- 

 ren, welche realen ganzen Primzahlen der Formen 7n ■+■ l und 

 7n -f- 3, 7 n -f- 5 und 7« + 2, Tn -f- 4 angehören, nur so weit über- 

 zeugt, als die Kreistheilungsgleichung reicht, weil da, wo die 

 complexen Zahlen nicht mehr realen ganzen Zahlen congruent 

 sind, der Canon arithmelicus nicht mehr mit Erfolg anzuwenden 

 ist und die Rechnungen zu zeitraubend werden. Als Beispiel 

 für höhere Potenzen habe ich 7. = 23 gewählt, weil für diesen 

 Werth zuerst die wirklichen complexen Primzahlen nicht mehr 

 ausreichen und darum ideale Primzahlen anzuwenden sind. Meine 

 Induction erstreckt sich hier auf 44 complexe Primzahlen, näm- 

 lich auf die 22 idealen Primfactoren der realen ganzen Primzahl 

 47, deren dritte Potenzen zu wirklichen complexen Zahlen wer- 

 den, und auf die 22 wirklichen complexen Primfactoren der rea- 

 len Primzahl 599. Bei allen möglichen 946 Verbindungen die- 

 ser 44 complexen Primzahlen habe ich das obige Reciprocitäts- 

 geselz bestätigt gefunden. 



Durch alle diese Resultate meiner Induction glaube ich zu 

 der vorläufigen Annahme berechtigt zu sein, dafs das von mir 

 gefundene und aufgestellte Gesetz richtig ist, und dafs für alle 

 diejenigen Potenzen, auf welche es sich bezieht, es von jetzt an 

 sich nicht weiter um die Auffindung, sondern nur noch um den 

 Beweis des Reciprocitätsgesetzes handelt. Aufserdem gehören 

 zur Theorie der ?."=" Potenzreste wesentlich noch diejenigen 

 Sätze, welche sich auf den Charakter beziehen, den die Zahl 7. 

 selbst, so wie ihre Primfactoren von der Form l — a"- und aus- 

 serdem die complexen Einheiten haben. Diese Ergänzungssätze 

 habe ich nicht allein gefunden, sondern auch vollständig ergrün- 

 det und bewiesen, und ich werde mir erlauben, dieselben in der 

 Kürze hier zu entwickeln. 



Es sei p eine reale Primzahl von der Form iO. ■+■ l, >. eine 

 ungrade Primzahl, g primitive Wurzel der Congruenz ff''~ ' = ), 

 Mod. /->, 7 primitive Wurzel der Congruenz 7'"' = 1, Mod. ?., 



