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t eine imaginäre Wurzel der Gleichung ;>''= l, « eine imagi- 

 näre Wurzel der Gleichung «^=1. Ferner seien /, r,,, '';2v 

 ...»;,._, die ?. Perioden, welche aus je i- Wurzeln der Gleichung 

 ,!''= 1 gebildet sind, wo v = ^^-j—, so dafs 



Yj = .»• -|- a: s -|- -t- X 



ri, =x^-i-x^ -f- -f- ;i-' 



p-t-X 



p-\ 



X— 1 2X-( t p-2 



yi}.-i= x^ ■+• x^ -f-...-t-:r» 



Aufserdem sei /(«) ein complexer Primfactor von p und Ind. j 

 der Index von j für die primitive Wurzel g und für den Mo- 

 dul p, wenn f real Ist, aber für den Modul /(«), wenn j eine 

 complexe Zahl Ist. Das Product zweier Perioden läfst sich be- 

 kanntlich als lineare Function aller Perioden so darstellen, dafs 



r^^x = mY,-i-m,Yn ■+- H- Wx_, rx_i 



wo allgemein rn/, der Anzahl der Werthe des r aus der Reihe 

 r = 0, 1, 2, ... . I' — 1 gleich Ist, welche der Congruenz 



g'^-^"- -i- t ^ g'' , Mod.p, 



genügen, oder, was dasselbe ist, der Congruenz 



Ind. (g"'-*-" -+- 1) = Ä 

 für den Modul p — i , also auch für den Modul X. Aus dieser 

 allgemeinen Lestimmung der Zahlen m^ erkennt man sogleich die 

 Richtigkeit folgender Congruenz: 



Ind. (^"-t- 1) -i- Ind. (g''+'--i- 1) -+-.... Ind. (g-^+c-ox ^ ,) 

 = Im, ■+- 2^2 -f- 3^3 -+- -f- (?. — 1) m>_, , Mod. ?.. 



Nun Ist aber, wie leicht zu zeigen, die Congruenz 



^'-i = (z-l)(.-g^)(.-g^>)....(z-g<''-^^>-), Mod.p, 



(ur alle beliebigen ganzzahligen Werthe des z erfiillt; setzt man 

 daher in derselben z = — g^''-'"", Mod. ^, und multipllclrt auf 

 beiden Seiten mit g"", so wird 



1 -ff"" = (I -H ff") 0+^' + '). ...(!+<?•'+"'-'>'•), Mod./7, 



