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also auch 



Ind. (1 - ^-'"') ^ Ind. (t -t- g") + Ind. (l -f- g"^^) 



-t- + I„d.(l+^-+(''-'>'-) 



fiir den Modul X, also nach der obigen Gleichung 



Ind. (l —g'"')=im^-^-2m„-^- 4- (X — l) Wx_t , Mod. X. 



Wenn nun /(«) ein complexer Prlmfactor des p ist und zwar 

 derjenige der X — 1 conjugirten, welcher congruent Null wird 

 für den Modul p^ wenn §■" statt « gesetzt wird: so kann anstatt 

 Ind. (l — g"'') gesetzt werden Ind. (1 — «"), wo aber jetzt das 

 Zeichen Ind. nicht mehr den Index in Beziehung auf /?, sondern 

 in Beziehung auf den Modul /(«) bedeutet. Es ist daher 



Ind. (l — «") = \nl^ +2rA?2-H....+ (X— l)/7?x_,, Mod. X. 

 Diese Congruenz giebt den Charakter eines Primfactors 1 — «" 

 der Zahl X in Beziehung auf X''= Potenzreste, ausgedrückt durch 

 die Zahlen m^ , welche als bekannte anzusehen sind, da die Kreis- 

 theilung dieselben vollständig und auch so einfach bestimmt, als 

 nur überhaupt die Zahlen der Kreistheilung sich bestimmen lassen. 

 Setzt man in diesem Ausdrucke des Ind. (1 — «") nach ein- 

 ander >< = 1, 2, 3,...X — 1, und addirt, indem man von der be- 

 kannten Formel 



12 X— I 



m,, -f- w;, -I- w^, -t- . . . . -f- m,, = V 



Gebrauch macht, so erhiilt man den Charakter der Zahl X selbst, 

 durch folgende Congruenz ausgedrückt: 



Ind. (X) = — (m, + 2w2 + 3m3-H....-f-(X— l)wx_,), Mod. X. 



Nimmt man endlich die Einheit 



2 





(1 — «) (1 — «- ' ) 1 — « 



welche ich gewöhnlich mit dem Namen Kreistheilungs- Einheit 

 der complexen Zahlen zu benennen pflege, so erhält man aus 

 dem Ausdrucke des Ind. (l — «") sogleich 



Ind. «?(«") = ^(^~y)(^l i)-t.r;^,+2m2-H...-H(X-l)!^x-t 



für den Modul X. 



2X 



— Im, — 2W2 — ... — (X — l)mx_i 



