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Was die Exponenten m,, /»g, — m\-t •" 



(4) ^=/(«) '/(«') ^. •/(«'-') '-' 



betrifft, so ist allgemein m^ positiv < X und durch die Bedin- 

 gung km^ ^ 1 (mod >.) gegeben. Von der Bestimmung des zwei- 

 felhaften Vorzeichens ± und namentlich der Einheit «"■ rechts in 

 (1) wird welter unten die Rede sein; dafs die rechte Seite in 

 (1) sich nicht wesentlich lindert, wenn man/(«) durch das Pro- 

 dukt dieser Zahl in eine beliebige complexe Einheit ersetzt, ist 

 schon von Kummer bemerkt worden; dafs nändich, wenn man 

 e («)/(«) statt /(«) setzt, wo e(ct) irgend eine complexe Einheit 

 vorstellt, also auch gleichzeitig resp. e(ce^)/(a^), e(a'^)f(cc^),... 



statt /(«^), /(«') , hierdurch der Ausdruck f^ keinen andern 



Faktor erhält, als eine blofse Potenz von «. 



Die Formel (1) mit der sie näher bestimmenden (3) bilden 

 die Grundlage aller hier anzustellenden Betrachtungen. Einer 

 allgemeineren Untersuchung schicke ich die Behandlung des spe- 

 ciellcn Falles voraus, wenn /(a) ein wirklicher Primfactor von 

 p ist, d. h. wenn p wirklich in das Produkt von X — 1 conju- 

 girten complexen Primfactoren (2) zerlegt werden kann. 



y^) Unter dieser Voraussetzung, welche in dem ersten Theile 

 dieser Untersuchungen nicht geändert werden soll, sei g eine 

 von p und X verschiedene Primzahl, u der kleinste Exponent, der 

 gr" = 1 (mod A) macht, und 9" = A^ -+- 1. Erhebt man beide 

 Seiten der Gleichung (1) zur Potenz ^ -f- 1, so kommt links 



Die Potenz («,*)? kann man auf die Form («? ,1-? ) ■+• erbrin- 

 gen, wo T eine ganze ganzzahlige Funktion von « und x be- 

 deutet; der erste Thell, welcher sich wegen 9"= 1 (mod X) auf 

 («,a;9 ) reducirt,kannbekanntlichdurchrt~^"'*('' )(of,.T) = «""'"'' 9(«,a:) 

 ersetzt werden, indem allgemein («,x") = «"'""^"(«,0;) ist; man er- 

 hält daher links, abgesehen von einer durch 9 thellbaren Funktion: 

 «-"!"<'? («,;»•)''. Auf der rechten Seite kommt e^"*"'. Z^^"^', wenn 

 der Kürze halber s = ± n'' gesetzt wird. Schreibt man in der 

 so erhaltenen Relation zwischen « - " '""^ '/ («, x) '' und £?+'^f+* 

 für (a,x)^ wieder seinen Werth s^und bedenkt, dafs eine ganze 

 Funktion von a allein ohne x, welche dem 9 fachen einer ganzen 



