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die Einheit s, welche zu dem Produkte r als Faktor hinzutritt, 

 zu bestimmen, oder was auf dasselbe hinauskommt, eine Regel 

 für die Wahl von /(«) unter den Ihr assocllrten (d. h. durch 

 eine Potenz von « als Faktor unterschiedenen) Zahlen aufzustel- 

 len; es geschieht dies durch folgende eigenlhümllche Methode. 

 Aus (1) kann man eine Congruenz mod A ableiten; da nämlich 

 (ct^xy auf die Form («'',x^) ■+- XT = — i -i- ?.T gebracht wer- 

 den kann, so erhält man nach demselben Princip, welches oben 

 für mod 7 benutzt worden Ist, e f-^ ^i — 1 (mod Ä); es niufs also 

 £ so bestimmt werden, dafs dieser Congruenz Geniige geschieht. 

 Dieser Bemerkung erwähnt auch Kummer als einer Ihm von mir 

 gemachten Mittheilung (Crelle's Journal Band 35. S. 363); es ist 

 dies aber kelnesweges die definitive Form des Resultates, sondern 

 nur der erste Schritt zu demselben, indem eine Relation zwi- 

 schen £ und F" nicht hinreicht, sondern eine solche zwischen s 

 und /(«) gefordert wird. Ich setze 1 — cc = y,, dann ist bekannt- 

 lich yi^~* glelchgeltend mit ?l als Modul, folglich kann die er- 

 haltene Congruenz üo geschrieben werden: £/^= — 1 (mod ri^~*); 

 ich benutze nur die a fortiori geltende sV^ — 1 (mod v^^). Die 

 Faktoren von /^können in dieser Congruenz auf folgende Weise 

 durch einfachere Gröfsen ersetzt werden. Aus 1 — « = r, folgt 

 « = 1 — V) und wenn man zu einer beliebigen Potenz h erhebt, 

 a*= 1 — hri •+■ etc., also «''=1 — hrj (mod v^^), und hieraus all- 

 gemein, wenn ■4^(«) = oq -t- Oicc -t- a2cc'^ -+• gesetzt wird, 



%//(«) IS «0 -+-«! -f-«2 -h...— (a 1+202 + Sa^ -t- .. .) y, (moiri^) 

 oder kürzer ausgedrückt 4^ (cc) = \|/ (l) — d\l/ (l) . *) ^ 

 \|/(t) (1 — dlog4/(l) . y,) (mod y,'^), wo d^^(l) den Werth der 

 derivirten Funktion ^^j^ für « = 1 bedeuten soll. Nach dieser 

 Bemerkung wird /(«) ^ /(l) (i — d log /(l) r) , /(«^) = 

 /(l)(l-2dlog/(l)v5),... allgemein /(f/)=/(0(l-Ä:Jlog/(l).r) 

 (mod »;*); erhebt man in einer solchen Congruenz beide Selten 

 zur Potenz m^, so kommt 



ficc'f'=/{lf\l-kdlogf(l)y,)"''=f(if'(l-hm,dlog/0)y^ 

 =/(!)"'*(! — d log/(l) r) (mod y,^) , weil km^ =- 1 (mod X) ist. 

 In Betracht der Zusammensetzung von F" ergiebt sich hieraus 



^=n/(«*)'"*=/(i)^'"*(i-dlog/(0»))^-' 



X (X— 1) X — 1 



^/(0~^0 -*- d Iog/(i).»,) =/(i)~(l + dlog/(i) . >i). Setzt 



