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man dies letztere für V in die obige Congruenz e/^= — 1, und 

 fiir e seinen Werth ± u' zurück, welcher = ± (l — /-*;) (niod r;'^) 



wird, so kommt nach einer leicliten Reduclion 



X— I 



±/(l) ' [IH-C'^log/O) -r)*i]=-l(mod,,'^), 

 eine Congruenz, welche nicht anders bestehen kann, als wenn 

 einzeln / (i) ^~= q: l und d Iog/(i) — r = o (mod ?.) Ist. Die 

 Bestimmung des zweifelhaften Vorzeichens ist für die Theorie 

 der ?v"^" Potenzresle von geringerem Interesse, da — l als eine 

 ?."= Potenz In der Form (— l)'' angesehen und daher unter den 

 symbolischen Zeichen stets fortgelassen werden kann; von der 

 grüfsten Wichtigkeit Ist dagegen die Bestimmung des Exponen- 

 ten r durch die Congruenz /(l),r = d/(i) (mod A); es geht aus 

 derselben namentlich hervor, dafs dann und nur dann r^ o (modA) 

 also «■■= 1 und £ = ± 1, mithin («,;r)^ = ± /^ ist, wenn df{\) 

 durch A theilbar Ist, und dies geschieht, wenn /(«) einer reellen 

 (gewöhnlichen) ganzen Zahl congruent Ist (mod »j^). In diesem 

 Falle soll /(«) als primäre Zahl definirt werden*), und es Ist 

 zu bemerken, dafs unter je A — l associirten Zahlen, wie /(«), 



«/(«), «V(«)> «""VC«) sich stets eine und nur eine von 



der angegebenen Art befindet. 



Unter Voraussetzung eines primären Werthes von /(«), 

 d. h. eines solchen, welcher = /(l) (mod j;^) und nicht blofs, 

 wie sich von selbst versteht, =/(«) (mod v,) Ist, wird aus (7) blofs 



Zur definitiven Transformation dieser Formel müssen die zur 

 Rechten stehenden Symbole, welche einen gemeinschaftlichen 

 Nenner und verschiedene Zähler haben, durch solche mit gemein- 

 schaftlichem Zähler /(«) ersetzt werden; es geschieht dies leicht 

 nach einem bekannten schon bei den biquadratischen Resten zur 

 Genüge angewandten Princip. Als Definition des Symbols (^'"i-') 

 welches ich für einen Augenblick durch ß = a'' bezeichnen will 

 dient die Congruenz 



/(«*)^=«'=/3 (mod (/)(«)). 



*) Das Characteristische einer primären Zahl besteht also darin, dafs 

 wenn man dieselbe statt nach Potenzen von a nach Potenzen von »j = i — a 

 ordnet, das Glied fortfällt, welches die erste Potenz von r\ enthält. 



