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Da dieselbe für jede primitive ^'^ Wurzel « gilt, so kann man 

 « überall, d. h. zu beiden Seiten und auch im Modul durch «""* 

 ersetzen und erhält dann mit Rücksicht auf km/,. = 1 (mod >.): 



f{ci) ? = «'"'<• ^ = ß""'- (mod ip («"■'f )) ; 



geht man wieder zurück auf die Definition der Symbole, so folgt 



hieraus f3'"^- = I ^ . I , d. h. ( — — ) = I . , „^v j • 



Durch Anwendung dieser Transformation geht das Produkt auf 

 der rechten Seite der aus (7) abgeleiteten Formel in das viel 



einfachere 11 ( — r ) über, welches bei anderer Faktorenfolge 



mit n 1 . , 1 zusammenfällt und wegen (6) durch ( — ,, j 



A V(/5(f/)/ '' V 9 / 



= (■^-^1 bezeichnet werden kann, so dafs (-^f— s ) =^(- — ) 



und wenn man schliefslich auf beiden Seiten zur Potenz m„ er- 

 hebt, die einfache Keciprocltät 



(7fe)=e') 



erhalten wird, in der /(«) primär vorauszusetzen ist. Dafs die 

 Bedingung des primären Verhaltens für /(«) in dieser Recipro- 

 citätsformel vollkommen hinreicht, und dafs auch gar keine an- 

 dere nähere Bestimmung von /(«) gefordert werden kann, so 

 lange es sich nur um Vcrgleiclumg mit einer rellen Zahl q han- 

 delt, geht schon aus der am Anfange erwähnten Eigenthümlich- 

 keil des Ausdrucks ^ hervor, und kann auch a posteriori nach- 

 gewiesen werden, indem gezeigt wird, dafs In der That J \ 



gänzlich unverändert bleibt, wenn e{c<) f{ci) an die Stelle von 

 /(«) tritt, so lange nur dieses Produkt e{n) f{ct) nicht primär 

 zu sein aufhört. Zu dem Ende ist nur zu zeigen, dafs für eine 



I = 1 wird, und dies folgt 



unmittelbar aus der von Kummer gemachten Bemerkung, dafs 



.(«) = .(«->), denn diese gIebt('-^^)=('-^^) = ('-^^) ' 



