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der Final -Formel I -—--7- 1 = ( j; es ist aber zu beden- 



ken, dafs diese letztere Formel illusorisch oder doch fiir den 

 vorliegenden Zweck unbrauchbar wird, wenn /* durch A theilbar 

 ist*), wie dies nach Kummer für solche Werthe von A stattfin- 

 den kann, die in dem Zähler einer der ersten ■^(,'^ — 3) Ber- 

 nouillischen Zahlen enthalten sind; Im entgegengesetzten Falle, 

 wenn fi nicht durch A theilbar ist, kann man freilich mittelst 



einer neuen Definition ( j als den Werth der Potenz! j 



einführen, und hat dann ( — — - | = ( J , wie für ein wirkli- 



V/(«)/ V '/ / 



ches /(«)? welche Gleichung jedoch hier nichts anderes bedeu- 



tet, als l 77--; ) = ( ) ? wo wie immer hr/if, = l (mod X). 



Da also auf diese Weise nur diejenigen complexen Zahlen in 

 die Betrachtung eingeschlossen sind, für welche die kleinsten 

 Exponenten, die ihre idealen Primfaktoren zu wirklichen Zahlen 

 machen, nicht durch X aufgehen, so schien mir der oben einge- 

 schlagene Weg der gleichzeitigen Betrachtung mehrerer Werthe 

 von /(«) vorzuziehen. 



Was nun endlich die auf zusammengesetzte Exponenten be- 

 züglichen Potenzreste betrifft, so lassen sich die betreffenden Re- 

 ciprocltätssätze zwischen reellen und complexen Zahlen ebenfalls 

 vollständig aus den Formeln der Krelslheilung ableiten. Da je- 

 doch die Theorie der complexen Zahlen aus solchen Wurzeln 

 der Einheit, welche zu zusammengesetzten ^Vurzel- Exponenten 

 gehören, noch fast gänzlich unbearbeitet ist, so erfordert die voll- 

 ständige Durchführung dieses Gegenstandes, obwohl sie durchaus 

 keine neuen principiellen Schwierigkeiten darbietet, allerdings 

 ziemlich umfangreiche vorläufige Untersuchungen und eignet sich 

 daher weniger für eine kurzgefafste Mitlhellung. 



Berlin, 23. Mai 1850. G. Eisenstein. 



//("■)'' \ ( 9 V 



•) Man kann in diesem Falle nur schliefsen, dafs I I = \ fi \) =' 



ist, so dafs allgemein, wenn F(a.)^ wirklich, aber F{a.) nur ideal ist, doch 

 ^^-— j = , wird. 



