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einer gegebenen Form unendlich viele neue abzuleiten, und 

 umgekehrt unendlich viele Formen unter einem gemeinschaftli- 

 chen Gesichtspunkte zu vereinigen. Es steht dieses analytische 

 Instrument, je nach der Natur der in der Substitution vorkom- 

 menden Coefficienten «, /3, . . . zugleich im Dienste zweier ma- 

 thematischer Disciplinen, der Algebra und der Zahlentheorle. 

 In der Algebra, wo vollkommen bei iebi ge Werlhe der Sub- 

 slitulions - Coefficienten zugelassen werden, eröffnet dasselbe die 

 Quelle zur Auffindung und Erforschung jener characteristlschen 

 Coeflicienten-Verbindungen der homogenen Funktionen, welche 

 ich, um sie von den gewöhnlichen Subslitutions-Determinanten 

 zu unterscheiden, Formen-Determinanten genannt habe, 

 und welche bei allen algebraischen Untersuchungen die wich- 

 tigste Rolle spielen. In der Zahlenlheorie werden die so er- 

 haltenen algebraischen Beziehungen als ein nolhwendlger Ap- 

 parat vorausgesetzt; dagegen werden für«, ß,... Werlhe von 

 speciellem Characler, bis jetzt immer nur ganze Zahlen, ange- 

 nommen, und es knüpfen sich hieran die Begriffe der Aequi- 

 valenz, der Klassificalion und Reduction der Formen mit ihren 

 weiteren fruchtbaren Entwicklungen. Indessen scheint dieses 

 Princip namentlich in der Zahlenlehre noch nicht nach allen 

 Seiten hin verarbeitet worden zu sein. So hat man z. B. die 

 Substitutionen mit blofs rationalen Coefficienten bisher völ- 

 lig vernachläfsigt. Durch ihre Einfuhrung wird ein auf Formen 

 aller Grade anwendbarer gemeinschaftlicher Gesichtspunkt für 

 die so wichtige Eintheilung in Genera an die Hand gegeben, 

 während der gewöhnliche Eintheilungsgrund nach den quadra- 

 tischen und höheren Relationen der durch die Formen darstell- 

 baren Zahlen für jeden Grad ja sogar für jede Anzahl von 

 Variabein einer besonderen Modifikation bedarf. Nachstehende 

 drei Sätze mit ihren Umkehrungen bezeichnen übersichtlich die 

 Stellung dieser verschiedenen Arten von Substitutionen zur 

 Theorie der homogenen Funktionen. Die aus den Substitu- 

 tions- Coefficienten «, /3, . . . gebildete Determinante, welche 

 man kurz die Determinante der Substitution zu nennen pflegt, 

 soll hier und im Folgenden mit k bezeichnet werden. 



„"Wenn zwei Formen oder homogene Funktionen sich 

 durch eine Substitution mit irgend welchen Coefficienten, 



