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für die k = 1 ist, in einander transformiren lassen, so ge- 

 boren sie zu demselben System von Formen -Determinan- 

 ten, und umgekehrt." 



„Je zwei Formen, die durch eine Substitution mit ratio- 

 nalen Coefficienten, für welche k = 1 ist, in einander über- 

 gehen, gehören zu demselben Genus, und umgekehrt." 



,,Je zwei Formen, die durch eine Substitution mit ganzen 

 Coefficienten, für welche k = l ist, in einander übergehen, 

 gehören zu derselben Klasse oder sind aequivalent, und 

 umgekehrt." 

 Aber auch ohne die Natur der Substitutions- Coefficienten 

 zu ändern, und indem man sich, wie im Folgenden stets ge- 

 schehen wird, auf ganzzahlige Werthe derselben beschränkt, 

 lassen sich neue Vortheile aus dem Princip der linearen Trans- 

 formalion ziehen, auf welche hinzuweisen die Untersuchungen des 

 gegenwärtigen Aufsatzes bestimmt sind. Bei den quadratischen 

 Formen, wo bekanntlich jeder Form nur eine einzige Determinante 

 entspricht, werden nach dem jetzigen Stande der Theorie die 

 linearen Substitutionen nur dazu verwandt, um Formen mit 

 derselben Determinante in Klassen zu bringen, während die 

 Formen mit verschiedenen Determinanten im Allgemeinen 

 als ganz getrennt von einander stehen bleiben. Zwar wird 

 gelegentlich bemerkt, dafs durch eine Substitution, für welche 

 k = m ist, eine quadratische Form mit der Determinante A in 

 eine solche mit der Determinante m 2 & übergeht, und hat schon 

 Gauss diesen Punkt einer genaueren Untersuchung unterzo- 

 gen (')•, aber gerade aus dieser Bemerkung scheint auf den 

 ersten Blick zu folgen, dafs nur ausnahmsweise solche Formen 

 ineinander verwandelt werden können, deren Determinanten 

 sich wie Quadralzahlen verhalten. Im Gegensatze hierzu wird 

 im Folgenden bewiesen werden, dafs wenigstens für drei und 

 allgemein für irgend eine ungerade Anzahl von Variabein (unbe- 

 stimmten ganzen Zahlen) quadratische Formen mit beliebig ver- 

 schiedenen Determinanten mittelst eines sehr einfachen Ver- 

 fahrens durch lineare Transformation verknüpft werden können. 

 Geht man z. B. von der Summe dreier Quadrate 



x ! +/+: ! =^> 



(') Disq. Arithm. Art. 213, 214. 



