355 



0, 0, 0, 



(«, 0, 0, 0, ..V 

 «', ß\ 0, 0, . . 1 

 «", /3", y", 0, .. I 



wo alle Plätze jenseits der Diagonalreihe durch Nullen ausge- 

 füllt sind und wo überdies in jeder einzelnen Horizontalreihe 

 die von Null verschiedenen Coefficienten positiv und kleiner 

 sind als derjenige von ihnen, welcher zur Diagonalreihe gehört. 

 Solche Substitutionen nenne ich reducirt und die zu ihnen 

 gehörigen Systeme von Coefficienten reducirte Systeme. Alle 

 unter einander aequivalenten Substitutionen einer Klasse werden 

 dann aus einer reducirten erhalten, wenn man letztere nach und 

 nach mit allen Substitutionen mit der Determinante 1 zusammen- 

 setzt. Die Zahl der Klassen für dieselbe Determinante k ist daher 

 gleich der Zahl der reducirten Systeme mit dieser Determinante, 

 und letztere Anzahl, wie leicht zu übersehen, für n Variabein 

 = i er, ^^ •• • ~„_i » wenn in dieser« — Machen bummation 

 statt der ßuchslaben S-, , c- 2 , ...S-„_, unabhängig von einan- 

 der alle Faktoren von k gesetzt werden. Insbesondere für drei 

 Yariabeln nehmen die reducirten Systeme die Form an 



(*, 0, \ 

 *', ß\ I (ä), 

 «", ß'\ y"/ 



wo ctß'y" = k und < u < ß\ o < «"< y", < ß" <. y", oder 

 auch allgemeiner a in irgend einem bestimmten Restensysteme 

 (mod yö), et" und ß" in einem bestimmten Restens. (mod y") ent- 

 halten sind. Auf diese Klassifikation und Reduction der zu einer 

 Determinante gehörigen linearen Sy>teme habe ich schon im Jahre 

 1844 wenigstens für zwei Variabein aufmerksam gemacht (Crelle's 

 Journ. 28. Rand S. 330) ; auch Her mite in Paris hat sich mit die- 

 sem Gegenstande beschäftigt. Die Unterscheidung zwischen den 

 beiden Keziehungen der Aequivalenz und Ähnlichkeit (*) möchte in- 



(*) Der Begriff der Ähnlichkeit läfst sich auch auf Formen beliebiger 

 Grade ausdehnen, indem ein System wie F t \F t ,...F m einem anderen/, , 

 fi, ■■ ■/» ähnlich genannt wird, wenn die Delationen 



/", = et/, -+• ß/ 2 +...,Fi = a'ft +ß'fi + ...,-a. s. w. 

 stattfinden, wo a, ß, . . . ganzzahlige Coefficienten vorstellen, deren Deter- 

 minante = 1 ist. 



