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tutionen von <& in ¥ derartig in Gruppen, dafs je zwei dersel- 

 ben aequivalent sind oder nicht, je nachdem sie zu derselben 

 oder zu verschiedenen Gruppen gehören, und dafs alle Substi- 

 tutionen einer Gruppe aus einer derselben erhalten weiden, 

 wenn man sie mit allen denen von ¥ in sich selbst zusammen- 

 setzt. Von der andern Seile lassen sich dieselben Substitutionen 

 auch so ordnen, dafs jede Gruppe die unter einander ähnlichen 

 Substitutionen enthält; zu dem Ende hat man nur immer diejeni- 

 gen zu vereinigen, welche aus einander durch Zusammensetzung 

 hervorgehen, bei der die Substitutionen von 4> in sich selbst die 

 Stelle der ersten Componente einnehmen, und die Formel Ex S 

 ergiebt lauter verschiedene und zugleich die sämmllichen in Q ent- 

 haltenen Substitutionen, wenn statt ^ alle diejenigen von $ in sich 

 selbst mit der Determinante 1 und statt S alle unter einander un- 

 ähnlichen von 4> in ¥ gesetzt werden. Bei «1er eisten Art der An- 

 ordnung entspricht übrigens jeder Gruppe eine und nur eine redu- 

 cirte Substitution, durch welche $, wenn nicht in Y, so doch in 

 eine ihr aequivalcnle Form transformirt werden kann. Besonders 

 bemerkenswert!! ist der Fall, wenn die Substitutionen von 4> in 

 sich selbst und die von ¥ in sich selbst in endlicher Anzahl vor- 

 handen sind. Bezeichnet man dann diese Anzahlen mit S und s und 

 die Anzahl aller Substitutionen von <£ in Y mit e, so hat man in 

 diesem Falle das eine Mal Gruppen von aequivalenlen Substitutio- 

 nen, deren Anzahl — beträgt, und deren jede s Substitutionen ent- 

 hält, das andere Mal Gruppen von ähnlichen Substitutionen, deren 

 Anzahl -« beträgt, und deren jede § Substitutionen enthält, wäh- 

 rend die Gesammt-Zahl t als ein Vielfaches sowohl von e als von 

 § erscheint. 



III. Auf diese Voruntersuchungen gestützt, kehre ich zu 

 dem schon weiter oben bezeichneten Haupt- Gegenstande dieses 

 Aufsatzes zurück, indem ich mich mit der Lösung der folgen- 

 den beiden Aufgaben beschäftige: 



(4.) „Alle nicht a e q u i va 1 en t en Substitutionen zu finden, 

 durch welche ip = x 2 -f- y 2 -+- z~ überhaupt in das D fache 

 einer unbestimmt gelassenen ternären Form mit der Deter- 

 minante — D übergeht." 



(/?.) „Wenn / eine vorgelegte positive ternäre quadratische 

 Form ist, alle unähnli ch en Substitutionen zu finden, durch 

 welche <p = x 2 ■+■ y 2 ■+• z 2 in Bf übergeht." 



