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A. Die erste Aufgabe läfst sich nach dem, was oben über die 

 linearen Systeme gesagt worden ist, darauf zurückführen, alle 

 reducirten Substitutionen mit der Determinante D 2 zu fin- 

 den, welche <p in eine durch D theilbare ternäre Form ver- 

 wandeln. Nach der oben angegebenen Form der reducirten 

 Systeme (/£.) handelt es sich also darum, die Congruenz 



(eex) 2 ■+■ (et'x -H ß'j) 2 -f- (a"x -f- ß"y -f- y"z) 2 = (mod D) 



unabhängig von den Variabein x, y, z durch solche ganze Wer- 

 the von et, et' u. s. w. zu erfüllen, welche den Bedingungen 

 ctß'y"=D 2 , 0<«'</3', 0<«"<7", 0< / ß"<<y" Geniige 

 leisten. Die Congruenz- Bedingung ergiebt zunächst, da die 

 Variable z nur in dem dritten Quadrate vorkommt, y" 2 = ß"y" 

 = (mod D) und sie kann daher durch die einfachere 



(«x) 2 -+- («'* ■+■ ßyy -+- (c<"x + ßyy = o (mod d) 



ersetzt werden. Das Problem ist hiernach immer auf die Lö- 

 sung der drei sehr einfachen Congruenzen zweiten Grades 



« 2 -H et' 2 -h et" 2 = , u'ß'-i- ct"ß" = , ß' 2 -f- ß" 2 = (mod D) 

 zurückgeführt. 



Ich beschränke meine weitere Untersuchung in diesem Auf- 

 satze auf ungerade "Werthe von D ohne quadratischen Theiler 

 unil gebe hier zunächst die vollständige Behandlung für den 

 besondern Fall, wenn statt D eine ungerade Primzahl 3 ange- 

 nommen wird. Für diesen Fall£> = 3 können wegen et ß'y"='e) 2 , 

 und da y" durch e) aufgehen mufs, nur folgende Annahmen über 

 die Werthe der die Diagonalreihe des reducirten Systems bil- 

 denden Coefficienlen «, ß\ y" gemacht werden: 



1) et = 1, ß' = r), y" = 3- Die obigen Congruenzen wer- 

 den unter dieser Voraussetzung 1 -+- et' 2 -+- cc" 2 = 0, et" ß" ZE 0, 

 ß" z = o (mod 3) mit den Beschränkungen, welche die Natur 

 der reducirten Systeme mit sich bringt, und die hier darauf 

 hinauskommen, dafs et', et", ß" nicht negativ und <Z 3 sein müs- 

 sen ; die zweite und drille Congruenz geben /3"=0, und dann 

 wegen 0</Q"-<r), ß"=0; die erste, nämlich die Congruenz 

 et' 2 -+- et" 2 = — t (mod o 1 ), ergiebt entweder 3 -+- 1 oder 3 — 1 

 Kusammengehörige Lösungen et', et", je nachdem 3=3 oder 



