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|E l (mod 4) ist, und somit ebenso viele reducirte Systeme von 

 der Form 



(1, 0, 0\ 

 «\ 3, o) 

 «", o, 9/ 



welche allen Forderungen der Aufgabe entsprecben. 



2) « = 9, jQ'=l, y" = 9. Die zu erfüllenden Congruen- 

 zen werden hier, wenn man immer die durch 9 theilbaren Glie- 

 der fortläfst, «' 2 -J- et" 2 = 0, et' -+- et" ß" = 0, i -+- /3" 2 = 0. 

 Da «' der Bedingung < et <. t geniigen, d. h. = sein mufs, 

 so gehen die erste und zweite in et" 2 =E und et"ß" Er über 

 und zeigen, dafs et" = 0, also wegen der Bedingung <_«"■< 9, 

 «"= sein mufs; die Congruenz 1 -+- ß" 2 E= (mod 9) endlich 

 ist nur dann lösbar und somit diese ganze Annahme nur dann 

 stalthaft, wenn 9 = 1 (mod 4) ist. Für diesen Fall allein also 

 erhalt man zwei reducirte Systeme von der Form 



'9, o, o> 



(3, 0, 0\ 

 o, ß", 3/ 



wo statt ß" die beiden Werthe von V — 1 (mod 3) zu setzen 

 sind. Werden diese beiden Systeme mit den obigen 9 — 1 ver- 

 einigt, so hat man auch für 9 =1 1 (mod 4), so wie schon oben 

 für 9 HE 3 (mod 4), bis jetzt 9 -+- i Systeme, welche den Be- 

 dingungen der Aufgabe Geniige leisten. 



3) « = I, ß' = i, <y"=9 2 . Diese Annahme ist unmöglich; 

 da nämlich für dieselbe «'= sein müfste, so führt sie zu den 

 einander widersprechenden Congruenz-Bedingungen t -+-rc" 2 ZZ0, 

 «"/2" = 0, 1 -+- ß" 2 == 0. Es giebt also überhaupt für jede Prim- 

 zahl 9 genau 9 -H 1 nicht aequivalente Substitutionen, durch 

 welche (/>, die Summe von drei Quadraten, in das 9 fache einer 

 ternären Form mit der Determinante — 9 übergeht. 



Ich wende mich jetzt zu der llehandlung des allgemeineren 

 Falles, in welchem D als Produkt beliebig vieler verschiedener 

 ungerader Primzahlen angenommen wird. Hier ist zuerst zu 

 bemerken, dafs wegen der Congruenz ß' 2 ■+- ß" 2 == 0, welche 

 für alle Primzahlen von der Form An -+- 3 nur unter der Vor- 

 aussetzung ß' = /3"= lösbar ist, ß' und ß" durch alle in D 



