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enthaltenen Primfaktoren dieser Form theilbar sein müssen ; da 

 nun aß'y" = D 2 werden soll, und y" schon allein mit D aufge- 

 hen mufs, so kann et keinen einzigen dieser Primfaktoren enthal- 

 ten. Die Prinifakloren von der Form 4n-f-l verllieilen sich dage- 

 gen so auf et und ß' dafs et alle diejenigen enthält, welche in 

 ß' nicht aufgehen, und umgekehrt; denn bezeichnet p irgend 

 einen derselben, der in ß' nicht enthalten ist, so folgt aus den 

 Congruenzen 



«* _*. «'* -+-«" 2 =0, cc'0'+u"ß"=O l ß'*-t-ß" <i = 0(modp), 



■wenn man die zweite in der Form aß' = — a"ß" auf beiden 

 Seilen qnadrirt und dann für ß" 2 den Werlh — ß' 2 aus der 

 drillen selzt, cc'' 2 ß" 2 = — ct"' 2 ß" 2 (mod />), oder, da man mit/3' z 

 fortdividiren darf, welches nach der Voraussetzung den Modul 

 nicht enthalten soll, ex" 2 -+- et'" 2 — (mod/?), mithin endlich 

 wegen der er>ten Congruenz auch et 2 =E (mod p) und et = 

 (mod p). Bezeichnet man demnach das Produkt aller in D auf- 

 gehenden Prinifakloren von der Form An ■+- 3 durch Q, und 

 das Produkt aller derer von der Form An -+- 1 in irgend einer 

 Zerfällung durch P = P, P. 2 , so dafs D = P,P 2 Q wird, so ist 

 die allgemeinste Annahme, die man machen kann, « = P, , ß' 

 = P 2 Q und y" = D zu setzen, und den reducirten Systemen 

 die Form 



(P, , 0, ov 

 «", ß", n/ 



zu geben, wo < «' < P. 2 Q, et" und ß" nicht negativ und < D 

 sind. Die Congruenz- Bedingungen, von denen die Lösung des 

 Problems abhängt, zerfallen nun in folgende sechs: 



(|) «'* + «"* =o(modP,), (2) P?-r-«' z -f-«" 2 =o(modP 2 <?), 

 (3) P„(>«'-+-«"/3"=0(modP 1 ), (4) it"ß"=o (mod P 2 Q), 

 (5) PI Q 2 -+- ß" 2 = (mod P,), (6) ß" 2 = (mod P 2 Q\ 



■wenn man jede der drei nach dem Modul D gellenden einzeln 

 in Hinsicht auf die beiden Moduln P, und P 2 Q betrachtet. 

 Um zunächst (4) und (6) zu genügen, ist erforderlich und hin- 

 reichend, dafs ß" ein Vielfaches von P 2 Q werde; setzt man 



