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valent sind, alle reducirten Substitutionen aufzusuchen, durch 

 welche F in das — D 2 fache irgend einer unbestimmt gelasse- 

 nen Form mit der Determinante — 1 übergeht, d. h. alle re- 

 ducirten Substitutionen mit der Determinante Z) 2 , welche F 

 in das D 2 fache irgend einer andern Form verwandeln, oder 

 kurz, welche F ' ~EE (mod D 2 ) machen. Die zweite Aufgabe 

 ist hierdurch auf eine der ersten, bereits gelösten, vollkommen 

 analoge zurückgeführt, nur dafs hier die Form ip durch F, die 

 unbestimmt gelassene Form mit der Determinante — D durch 

 eine mit der Determinante — 1, und der Modul D durch Z) z 

 ersetzt wird. Es müssen nun, um auf F eine reducirte Sub- 

 stitution anzuwenden, statt der Variabein x, j, z dieser Form 

 die linearen Verbindungen derselben 



£ == «je, y, = ce'x -+- ß'j, g = cc"x ■+■ ß"j -h y"z 



in F eingeführt werden, wobei, ebenso wie oben, o <.«'■< /3', 

 < et" <L 7", <_ ß" <Z 7", aß' y" = D' 1 angenommen wird. 

 Wegen einer daraus hervorgehenden Vereinfachung der fol- 

 genden Untersuchung ist es zweckmäfsig, die Form/ zuvor so 

 einzurichten, dafs A" ', und dafs auch a zu D relative Primzahl 

 wird, zwei Forderungen, denen bekanntlich, wenn sie nicht 

 schon von selbst erfüllt sind, namentlich für ungerade Werlhe 

 von D stets durch eine einfache Transformation genügt werden 

 kann. Unter dieser Voraussetzung ist es erlaubt, die Con- 

 gruenz F == (mod D 2 ) zuvor mit A" zu multipliciren, und 

 statt ihrer die hierdurch nach bekannten algebraischen Bezie- 

 hungen (Disq. Arilhm. Art. 267) sich ergebende 



(A"$ -+• Br t 4- Z?'£) 2 -f- D . (a'vj 2 -+- 2b" £y, -*- at 2 ) = (mod -D 2 ) 



als Ausgangspunkt der anzustellenden Discussion zu wählen. 

 Diese Congruenz, welche die eigenthümliche Form U 2 -\-D.V 

 =■ (mod D 2 ) hat, erfordert zunächst, da der zweite Besland- 

 theil der linken Seite durch D theilbar ist, dafs V 2 = (mod D) 

 und, wenn man auch hier nur Werthe von D ohne quadra- 

 tischen Theiler berücksichtigt, dafs U selbst = (mod £>) 

 sein mufsO; dies giebt U 2 = (mod Z> 2 ), DT= (modD 2 ) 



(*) Es bezieht sich diese Folgerung auf eine Theorie, in der statt ganzer 

 Zahlen lineare ganzzahlige Verbindungen der Variabein x,y, — betrachtet 



