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und f = (mod D). Man erhält also einzeln, als hinreichende 

 und für den vorgezeichnelen Fall auch als nolhwendige Bedin- 

 gungen 



Ä'i -f- Br, -h B't = (mod X>), 



a' r * -f- 2b" ^ + a £ 2 =0 (mod D), 



welche, nach den Variahein a-, y, z zerfallt, die folgenden sechs 

 liefern: 



(1) A"a" + Ba'+ B'cc = 0, (2) A"ß"-h Bß' = 0, (3) A"y" = 0, 

 (4)aV«+24"««'+a« 2 =0, (o)ddß'+b"aß' = Q, (6) aß' 2 =0. 



Aus (3) folgt 7"EE-0, aus (6), da auch d als zu .D relative 

 Primzahl vorausgesetzt worden ist, folgt /3'EEO; wegen aß 'y" 

 = Z> 2 nnifs dalier ß' = B, y" = D und dann also « = t sein; 

 (5) ist hierdurch von selbst erfüllt; aus (2) wird A"ß"zEEQ 

 also /3"=o, so dafs, wegen <./}"< Z), ß" = o sein mufs. 

 Die reducirten Systeme haben hiernach die Form 



(1, 0, 0\ 

 «', D, ol 

 «", 0, d/ 



und es bleiben nur noch für «' und a" die beiden Bedingungen 



(1) A" a" -+• B d -\- B' = 0, (4) fl'«' ! -f- 2b"d-h a = (mod D) 



zu erfüllen. Die zweite, mit d multiplicirt, giebt 



(«V 4- Ä") 2 = Ä" z — ad = ^" (mod .D), 



woraus hervorgeht, dafs y4" zu D quadratischer Rest sein 

 mufs, wenn überhaupt das Problem lösbar sein soll. Ist diese 

 Haupt-Bedingung, A"RD nach der Bezeichnung von Gau fs, 

 erfüllt, und bedeutet fj. die Anzahl der in D aufgehenden Prim- 

 fakloren, so giebt es 2" Werlhe von \A" (mod-D), und jeder 

 derselben liefert aus der linearen Congruenz 



da -»- b" = \/A" (mod D), ' 



in welcher der Coefficient d zu D relative Primzahl ist, einen 

 Werth von «', wahrend endlich die ebenfalls lineare Congruenz 

 (I), in der auch der Coefficient des Unbekannten a" zum Modul 



werden, und die der Theorie der gewöhnlichen Congruenzen ersten Grades 

 vollkommen analog ist. 



