380 



nante — D bezieht, und da die Dichtigkeit für eben dieses 

 Genus oben in III. C) durch die Formel 



25 i = 2 tV • < 3 + ! > • < 3 ' + • < 3 " + o • • • • 



ausgedrückt worden ist, so ergiebt sich schließlich: 



8.(2 + i).(3'+i).(3"+0--.. 



als Anzahl der Darstellungen der Zahl JD = 33'3". ••• durch 

 die Summe von 4 Quadraten, zunächst für den in diesem Auf- 

 satze allein vollständig entwickelten Fall, wenn D ohne quadra- 

 tischen Theiler angenommen wird. Um auch die übrigen Fälle 

 zu erledigen, ist es nöthig, den Aufgaben {A) und (B.) in III. 

 ebenfalls eine gröfsere Entwickelung zu geben. Man findet 

 dann für _ ^ m ^, . *„ » 



das s fache, für JD = 2N das 24 fache, und für D = AN das 16 

 fache des folgenden Ausdrucks : 



3—i o + 1) . d' m '~ • 0' + i) . 9'"""- ■ 0" -Hi).... 



oder anders geschrieben: 



0- + 3— t ) . @w + 3w-«) . (3''i»' + 3'w- ,).... 



als Anzahl der primitiven Darstellungen, d. h. als Anzahl 

 der Darstellungen durch 4 Quadrate ohne gemeinschaftlichen 

 Theiler. Die durch S oder höhere Potenzen von 2 theilbaren 

 Zahlen lassen gar keine primitiven Darstellungen zu. 



Um hieraus endlich die Anzahl aller Darstellungen abzu- 

 leiten, gleichviel ob primitiv oder nicht, hat man nur die For- 

 meln zu addiren, welche D selbst und allen den Zahlen ent- 

 sprechen, welche aus D durch Division mit den darin aufge- 

 henden quadratischen Theilern entspringen. Z. B. für den Fall 

 D = 3™ erhält man resp. 



cT-t-cT-', r- 2 -*-d m ~\ o"»-* -f- o""- 5 , 



als 8ten Theil der Darstellungen, welche den quadratischen Di- i 

 visoren 1, 3 2 , 3*,.... entsprechen, eine Reihe, welche entwe- 

 der mit 3 + 1, oder mit 1 abbricht, je nachdem m ungerade 

 oder gerade ist, deren Summe also für beide Fälle 



o"" -f- d m ~ f -f- -+- o 1 -f- 1 



