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Alle Fälle lassen sich also dahin vereinigen, dafs die Anzahl 

 der Darstellungen der Zahl D durch beliebige vier Quadrate 

 für ungerade Werthe von D mit der s fachen, für gerade Wer- 

 the mit der 24 fachen Summe der ungeraden Faktoren von D 

 übereinstimmt. Genau in derselben Form ergiebt sich dieses Re- 

 sultat aus der Theorie der elliptischen Funktionen mittelst der 

 Relation, durch welche die 4te Potenz der Reihe 



i + 2? + 2 ? ' + 2<7 9 -h 2g i6 ■+■ 



in eine einfache Reihe ausgedrückt wird, eine Relation, welche 

 nun wiederum umgekehrt als eine Folge aus jenem Resultate 

 abgeleitet werden kann. 



Die hier angewandte Methode, die primitiven Darstellun- 

 gen einer Zahl D durch die Summe von 4 Quadraten zu finden, 

 erscheint, wie sie im Obigen vorgetragen worden ist, im ge- 

 nauesten Zusammenhange mit der Theorie der positiven ternä- 

 ren quadratischen Formen. Dem aufmerksamen Leser wird 

 jedoch nicht entgangen sein, dafs die ganze Retrachtung, wenn 

 man alle erforderlichen Momente zusammenfaßt, darauf hinaus- 

 läuft, die Form u 2 -+■ cfj, d. h. u 2 -+- x 2 •+■ j 2 •+- z 2 in das D 

 fache dieser selben Form zu transformiren. Das obige Ver- 

 fahren fängt damit an, die Form u 2 -f- <p in 



±((Du + ^ 2 -F) (2.) 



zu verwandeln; da nun wiederum F vermöge der in III. (B.) 

 angestellten Betrachtungen in — D 2 cp transformirt werden kann, 

 so wird man, durch Zusammensetzung der Substitutionen, von i 

 u 2 -+- <p ausgehend, zu der Form 



^({Du + %) 2 + D 2 <£) 



geführt, welche, da £', der aus £ hervorgehende lineare Aus- 

 druck, nothwendig durch D theilbar sein mufs, mittelst einer 

 einfachen auf u allein bezüglichen Transformation in 



£((D*)?4-.D», 



oder nach wirklicher Division mit D in 

 D . (u e -+- <f}) 



