383 



übergeht. Dafs eine solche Transformation von u 2 -f- ip in 

 D . (u 2 -|- ep) immer möglich ist, und dafs jeder Darstellung 

 von D durch die Summe von 4 Quadraten eine hierzu geeignete 

 Substitution entspricht, geht schon aus der bekannten Eul er- 

 sehen Formel für das Produkt zweier Summen von 4 Quadraten 

 hervor, wenn man in dieser Formel die Quadrate der einen 

 Summe als numerisch gegebene Werthe, und nur die der an- 

 dern als variabel ansieht. DieEulersche Formel, unter diesem 

 neuen Gesichtspunkte betrachtet, setzt jedoch bereits die Kennt- 

 nifs der Darstellungen der Zahl D voraus, und lehrt nur, wie 

 aus ihnen die Transformationen von 



" 2 -r-a- 2 -t-/ 2 -r-* 2 

 in 



D . (u 2 + x 2 + y 2 + z s ) 



abgeleitet werden können, während der Zweck der hier ange- 

 stellten Untersuchungen gerade darin- besteht, jene Transfor- 

 mationen unabhängig hiervon zu ermitteln und aus ihnen um- 

 gekehrt die Darstellungen hervorgehen zu lassen. Diese Auf- 

 gabe ist im Vorhergehenden gleichsam Schritt für Schritt zur 

 Lösung gebracht worden. Eine mehr directe Lösung, welche 

 ich hier noch kurz andeuten will, würde darin bestehen, zu- 

 nächst alle reducirten Substitutionen aufzusuchen, durch welche 

 u 2 -+- (p in das D fache irgend einer noch unbestimmt gelasse- 

 nen quaternären Form mit der Determinante — 1 übergeht, 

 also die Congruenz 



(au) 2 +(u!u-h ß'x) 2 -+- (et"u -+. ß"x H- y" f y 



-H («'"« -+- ß'"x -+• y'"j -f- B"'z) 2 = (mod D) 



unabhängig von den Variabein u, x, y, z durch solche Werthe 

 von et, et', zu erfüllen, welche den Bedingungen 



etß'y"B'"=D 2 , <«'<£', 0<«"< 7 ", 0</3"< 7 ", 

 < et'" < 8 '", < ß'" < S "', < y'" < S '" 



Genüge leisten, ein Problem, welches dem in III. (A.) behan- 

 delten analog ist; sodann die aus diesen reducirten Substitutio- 

 nen und nachherige Division mit D hervorgehenden Formen 

 mit der Determinante — 1 durch neue Substitutionen auf die 

 ihnen allen aequivalente u 2 -+- ep zurückzuführen. Jeder der 



