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mit denen der Exponent von x nach dem Dual- System ge- 

 schrieben wird), so dafs es genügt 4e statt x zu setzen, um 

 alle Nenner fortzuschaffen und die Coefficienten der Reihe in 

 ganze Zahlen zu verwandeln. Die Belrachlung dieses wahr- 

 scheinlich längst bekannten speciellen Falles führte mich auf 

 die Entdeckung einer merkwürdigen allen algebraischen Funk- 

 tionen gemeinschaftlichen Eigenlhümlichkeit. In jeder Reihen- 

 Entwicklung dieser Art, wenn sie nur aus einer algebrai- 

 schen Fun kti on stammt, mag dieselbe übrigens explicite oder 

 implicite gegeben sein, kommen in sämmllichen Coefficienten, 

 so fern dieselben rational sind, als nothwendige Nenner, d. h. 

 als solche, die sich nicht weiter gegen Faktoren des Zahlers 

 forlheben lassen, stets nur eine endliche Anzahl ganz be- 

 stimmter Primfaktoren und deren Potenzen vor; es sind 

 diese Primzahlen zugleich die Divisoren einer aus der algebrai- 

 schen Gleichung, der die Funktion Genüge leistet, leicht zu 

 bildenden characterislischen Zahl, nämlich ihrer dem speciellen 

 Werthe x = entsprechenden von Gaufs so genannten Deter- 

 minante, welche bekanntlich nicht verschwinden darf, wenn die 

 Reihen -Entwicklung überhaupt möglich sein soll; endlich kann 

 statt x immer ein solches Vielfache von x gesetzt werden, dafs 

 alle Coefficienten der Reihe in ganze Zahlen übergehen. Nach- 

 dem diese allgemeine Eigenschaft erst erkannt war, fiel es nicht 

 schwer, dieselbe durch die Methode der unbestimmten Coeffi- 

 cienten zu erweisen und auch auf die aus der Auflösung eines 

 Systems von beliebig vielen algebraischen Gleichungen hervor- 

 gehenden Entwicklungen auszudehnen. Die wichtigsten An- 

 wendungen der so erhaltenen Sätze habe ich auf Fälle gemacht, 

 in denen die algebraischen Funktionen als Integrale von Diffe- 

 rential-Gleichungen defioirt werden, und diese Differential-Glei- 

 chungen für einfache Reihen - Entwicklung geeignet sind, wäh- 

 rend die vielleicht sehr complicirte Darstellung in endlicher 

 Form ganz unbekannt bleibt und für diesen Zweck auch wirk- 

 lich ganz aus dem Spiele gelassen werden kann. Das Einzelne 

 der hieranf bezüglichen Untersuchungen mag für eine künftige 

 Mitlheilung vorbehalten bleiben. Eine andere sehr einfache Art 

 der Anwendung beruht darauf, dafs jede Reihen -Entwicklung 

 mit rationalen Coefficienten, für welche die obigen Bedingun- 



