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24. November. Sitzung der physikalisch-ma- 

 thematischen Klasse. 



Hr. Cr eile trug von einem ihm von Herrn Slonimsky 

 aus Bialystock ohne Beweis mitgetheilten zahlentheoretischen 

 Satze den Beweis, nebst einigen Folgerungen daraus, vor. Der 

 Satz ist folgender: 



Es sei z T , von der Rechten an, die rte Ziffer einer belie- 

 bigen vielziffrigen Zahl Z. Verlangt man von Z die 2, 3, 4, 5, 

 6, 7, 8 und 9 fachen, und ist z. die letzte Ziffer 2, von Z, so 

 ist die Reihe der letzten Ziffern von 2Z, 3Z", kZ .... 9Z offen- 

 bar diejenige der letzten Ziffern von 2z,, 3z,, 4z, ....9z t . 

 Ist dagegen z T nicht die letzte Ziffer von Z, so ist die Reihe 

 der Tten Ziffern von 2Z, 3Z, 4Z. . . . 9Z nicht mehr die der 

 letzten Ziffern von 2z T , 3z r , 4z T .... 9z T , weil die auf die Tte 

 Ziffer in Z folgenden Ziffern auf die Vielfachen der r ten Zif- 

 fer einwirken und sie erhöhen. Je nachdem inZ andere 

 Ziffern auf die rte folgen, wird es eine andere Reihe von 

 Zahlen sein, welche zu den Vielfachen von 2-z T , 3s r , hz r . . ,9z T 

 der Ziffer z T hinzukommen und durch welche also die Tten 

 Ziffern der Vielfachen 2Z, 3Z, 4Z .... 9Z von Z verändert 

 werden. 



Welche nun auch die rte Ziffer z r von Z sein möge, die 

 wievielte r sie sein, und was auch auf diese rte Ziffer in Z fol- 

 gen möge: es giebt nicht mehr als Acht und Zwanzig ver- 

 schiedene Reihen von Zahlen, die zu den Vielfachen 2z T , 

 3z T , 4z T . . . ,9z T der Ziffer z r in Z hinzukommen und die 

 also die rten Ziffern von 2Z, 3Z, 4Z .... 9Z bestimmen. 



Dieses ist der Satz. Stellt man sich die Zahl, welche die 

 in der Zahl Z auf die Ziffer z r folgenden Ziffern bilden, als 

 einen Decimalbruch e und diesen Bruch innerhalb seiner 

 beiden Grenzen und 1 wachsend vor, so gehen die Reihen 

 der Einheiten, welche 2e, 3e, ke . . . . 9e enthalten und welche 

 eben diejenigen Zahlen sind, die, zu 2.z T , 3z T , kz T .... 9z T ge- 

 than, die rten Ziffern von 2Z, 3Z, 4Z . . . . 9Z geben, absatz- 

 weise jede in die folgende gröfsere über, und es ist leicht nach- 

 zuweisen, dafs die Werthe von e, für welche die Übergänge 

 Statt finden, alle die möglichen Brüche > <1 sein müs- 



