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sei), deren Zähler und Nenner > o und < 10 sind. Die Zahl 

 dieser Brüche ist 27, und es folgt also, dafs die Anzahl der ver- 

 schiedenen Reihen von Einheiten, die für die ungleichen ver- 

 schiedenen Werthe von e zu 2z T , 3* T , Az r . . . . üz T hinzukom- 

 men und welche dann die rten Ziffern von 2Z, 3Z, 4Z....9Z 

 geben, 28 ist. Die Anzahl 27 der Übergänge ist diejenige der 

 zu den Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 relativen Primzahlen, 

 welche kleiner sind als sie. Auch lassen sich noch auf andere 

 ^Veise die 27 Übergangsbrüche finden, nämlich (als Brüche be- 

 trachtet, die, der Reihe nach, einander so nahe kommen als 

 möglich) durch eine Gleichung nx = my -f- 1 zwischen zwei 

 unbestimmten ganzen Zahlen x und/, und durch die diesen Zah- 

 len zukommende Eigenschaft, dafs sie Zähler und Nenner des 

 letzten an — convergirenden Bruchs sind, wenn man — in ei- 

 nen Kettenbruch auflöset. Dies ist der Beweis des Satzes. 



Die Übergangsbrüche haben die Eigenschaft, dafs die Summe 

 jedes gleich weit von den Grenzen und 1 entfernten Paares 

 derselben gleich 1 ist; und von den Reihen der zu 2z r , 3z TJ 

 Az T . . . . 9z T durch 2e, 3e, Ae . . . . 9e hinzukommenden Zahlen 

 giebt die Summe jedes ebenfalls von den äufsersten Reihen gleich 

 weit entfernten Paares die äufs erste, gröfste Reihe. 



Der Beweis führt ferner auf die Aufstellung einer auf einem 

 -halben Bogen Raum findenden Tafel, mit deren Hülfe sich das 

 Product jeder beliebigen vielziffrigen Zahl mit jeder andern belie- 

 bigen vielziffrigen Zahl, ohne die einzelnen Ziffern mit einander 

 zu multipliciren, finden Iäfst. Diese Tafel kann practischen Nu- 

 tzen haben, sobald zwei Personen an der Rechnung Theil neh- 

 men, deren eine in der Tafel die Ziffern aufsucht und nennt, 

 welche dann die andere hinschreibt. Sie kann alsdann eine 

 bedeutende Erleichterung der Arbeit gewähren, während 

 6ie die Sicherheit des Resultats sehr befördert. Die Beschrei- 

 bung der Aufstellung der Tafel, so wie die nähere Auseinan- 

 dersetzung der Gegenstände gestatten weiter keinen Auszug. 



Hr. Ehrenberg legte ein von Hrn. Dr. Karsten einge- 

 gangenes Schreiben vom 20. Juni 1845 und eine dazu gehörige 

 Handschrift vor, die feinere Struktur der Arthrogamia betreffend, 



