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ruht auf der ganz unhaltbaren Annahme, dafs jedes Glied zwei- 

 ter Ordnung den Inbegriff aller höheren Glieder übertreffe. Aber 

 selbst wenn die von Lagrange angestellten Betrachtungen für 

 den Fall, worauf sie sich beziehen und wo sich das Maximum 

 in den Gliedern zweiter Ordnung zu erkennen giebt, vervoll- 

 ständigt würden, so wäre somit der fragliche Satz noch nicht 

 in seinem ganzen Umfange bewiesen. Bekanntlich ist die Exi- 

 stenz eines Maximums mit dem Verschwinden der Glieder zwei- 

 ter Ordnung verträglich; nur mufs immer die niedrigste Ordnung, 

 für welche nicht sämmtliche Glieder verschwinden, eine gerade 

 sein und das Aggregat aller dieser Glieder immer negativ blei- 

 ben. Die vollständigen Kriterien für diese letztere Bedingung 

 sind bisher, selbst wenn es sich um die vierte Ordnung handelt, 

 nicht aufgestellt worden (*); sie wären daher vor Allem aufzu- 

 suchen, was nothwendig in den Beweis des mechanischen Satzes 

 grofse Complication bringen würde. 



Glücklicher Weise läfst sich das Princip der Stabilität des 

 Gleichgewichts unabhängig von diesen Kriterien und durch höchst 

 einfache unmittelbar an den Begriff des Maximums anknüpfende 

 Betrachtungen nachweisen. 



Indem wir die obige Voraussetzung beibehalten, dafs die 

 Gleichgewichtslage verschwindenden Werthen von X, ja, r, . . • 

 entspricht, machen wir noch die zweite: dafs der Werth von 

 <J>(0, 0, 0, . . .) ebenfalls Null ist, was wegen der willkührlichen 

 Constante gestattet ist. Bestimmt man nun die Constante aus 

 dem gegebenen Anfangszustande, für den v, A, ja, i', . . . mit v , 

 X 0j ja , c , . . . bezeichnet werden sollen, so erhält man 



Xmv 2 = <p(X, ja, i', . . .) — <£(*„, ja , v , . . .) -f- 2 mv 2 



Vermöge der Annahme, dafs <f (X, ja, u, . . J) für X = 0, \x = 0, 

 1^ = 0, ... ein Maximum ist, dessen Werth selbst verschwindet, 

 lassen sich nun immer so kleine positive Gröfsen /, w, /?,... an- 

 geben, dafs für jedes System X, ja, u, . . ., wenn die Zahlenwerthe 

 dieser Variabein respective nicht gröfser als /, m, », ... sind, 

 </>(?., ja, i/, . . .) stets negativ ist, den einzigen Fall ausgenommen, 

 wenn >., ja, i/, . . . gleichzeitig verschwinden. Dieser Fall wird 



(*) Theorie des fotictions, seconde parlie, «".57. 



