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auf dasselbe Resultat führen, von denen ich eine als die ein- 

 fachste und allgemeinste ausgewählt habe. 



Ist p eine Primzahl von der Form m^ + l, so läfst es sich 

 in vielen Fällea als Product von folgenden X — 1 complexen 

 Facloren darstellen: p =/(a) • /(* z ) • /(* 3 ) • • • • /(«■*""')» wo 

 aber eine solche Zerlegung in wirkliche complexe Primfactoren 

 nicht möglich ist, da eben sollen die idealen Primfactoren ein- 

 treten um dieselbe zu leisten. Ist /(«) eine wirkliche complexe 

 Zahl und Primfactor des p, so hat sie die Eigenschaft, dafs wenn 

 anstatt der Wurzel der Gleichung <** = 1 eine bestimmte Con- 

 gruenzwurzel von g x = 1, mod./?, substituirt wird, /(£) == 0, 

 mod./?, ist. Darum auch wenn in einer complexen Zahl <$(<*), 

 der Primfactor /(*) enthalten ist, so wird $(1;) EE 0, mod, /?, und 

 umgekehrt: wenn <£(£) = 0, mod. p ist, und p in X — 1 complexe 

 Primfactoren zerlegbar, so enthält *(«) den Primfactor /(<*)• 

 ! Die Eigenschaft <£(£) =L 0, mod./?, ist nun eine solche, welche 

 i für sich von der Zerlegbarkeit der Zahl p in X — 1 Primfactoren 

 , ganz unabhängig ist, sie kann daher als Definition benutzt wer- 

 den, indem bestimmt wird, dafs die complexe Zahl <£(*) den 

 idealen Primfactor des p enthält, welcher zu a. = g gehört, wenn 

 «!>(£) = 0, mod. /?, ist. Jeder der X — 1 complexen Primfactoren 

 ■ des p wird so dnrch eine Congruenzbedingung ersetzt. Diels 

 reicht hin um zu zeigen, dafs die complexen Primfactoren, sie 

 seien wirklich oder nur ideal vorhanden, den complexen Zahlen 

 denselben bestimmten Charakter imprimiren. In der hier gege- 

 benen Weise aber gebrauchen wir die Congruenzbedingungen 

 nicht als Definitionen der idealen Primfactoren, weil dieselben 

 ' ' nicht hinreichend sein würden mehrere gleiche in einer comple- 

 xen Zahl vorkommende ideale Primfactoren zu repräsentiren, 

 : und weil sie zu beschränkt nur ideale Primfactoren der realen 

 r Primzahlen von der Form m^ + 1 geben würden. 



I Jeder Primfactor einer complexen Zahl ist immer zugleich 



auch Primfactor irgend einer realen Primzahl 7, und die Be- 

 1 schaffenheit der idealen Primfactoren ist besonders von dem Ex- 

 A ponenten abhängig, zu welchem 7 gehört, für den Modul X, der- 

 ' selbe sei /, so dafs q* ==. 1, mod. X, und X — 1 = e.f. Eine 

 f solche Primzahl 7 läfst sich niemals in mehr als e complexe 



