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Prlmfactorcn zerlegen, welche, wenn diese Zerlegung wirklich 

 ausführbar ist, sich als lineare Functionen der e Perioden von 

 je / Gliedern darstellen. Diese Perioden der Wurzeln der 

 Gleichung a. x = 1, bezeichne ich mit »j, •/},, vj 2 , .... -^_ ( , und 

 zwar in der Ordnung, dafs jede in die folgende übergeht, wenn 

 et in ex. 7 verwandelt wird, wo 7 eine primitive Wurzel des r\ ist. 

 Bekanntlich sind die Perioden die e Wurzeln einer Gleichung 

 des eten Grades, und diese als Congruenz aufgefafst, für den 

 Modul 9, hat immer e reale Congruenzwurzeln, welche ich mit 

 m, j/,, u 2j .... ",._, bezeichne, und welche ich in einer ent- 

 sprechenden Reihenfolge nehme wie die Perioden, wofür aufser 

 der Congruenz des eten Grades noch andere leicht zu findende 

 Congruenzen gebraucht werden. Wird nun die aus Perioden 

 gebildete complexe Zahl c'v) ■+■ c' t vj t -+• c' 2 v\ 2 -f- . . . -f- c' e _ 1 y e . 

 kurz durch #(•<]) bezeichnet, so giebt es unter den Primzahlen 

 9, welche zum Exponenten / gehören, immer solche, die sich 

 in die Form q = *('i)*(»ii)*0j2) • • • « *(>j«._i) setzen lassen, 

 in welcher auch die e Factoren niemals eine weitere Zerlegung 

 gestatten. Setzt man anstatt der Perioden ihre entsprechenden 

 Congruenzwurzeln, wobei man eine Periode beliebig festsetzen 

 kann, welche einer bestimmten Congruenzwurzel entsprechen soll, 

 so wird immer einer der e Primfactoren congruent Null, für 

 den Modul q. Enthalt nun irgend eine complexe Zahl /(&) 

 den Primfactor "£(*]), so wird sie die Eigenschaft haben für 

 vj = u f1 >Ji = w* + m *i2 = "*+2 etc. congruent Null zu werden, 

 für den Modul q. Diese Eigenschaft nun (welche eigentlich / 

 besondere Congruenzbedingungen implicirt, deren Entwickelung 

 zu weit führen würde) ist eine bleibende auch für diejenigen 

 Primzahlen 9, welche eine Zerlegung in die e wirklichen com- 

 plexen Primfactoren nicht gestatten, sie könnte daher als Defini- 

 tion der complexen Primfactoren benutzt werden, würde aber 

 auch den Mangel haben, dafs sie die in einer complexen Zahl 

 vorhandenen gleichen idealen Primfactoren nicht repräsentiren 

 würde. 



Die von mir gewählte Definition der idealen complexen 

 Primfactoren, welche im wesentlichen zwar mit der hier ange- 

 deuteten übereinstimmt, aber zugleich einfacher und allgemeiner 

 ist, beruht darauf, dafs sich, wie ich besonders beweise, immer 



