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e idealen Primfactorcn des 7 enthält, und zwar jeden wenigstens 

 fx mal, so ist dieselbe durch 7" thellbar. 



Wenn /(ot) genau m ideale Primfactorcn des 7 enthält, sie 

 mögen verschieden oder zum Theil oder sämtlich gleich sein, 



so enthält die Norm Nf(a) =/(<*)/(* 2 ) /(* x ~') genau 



den Factor q m f . 



Jede complexe Zahl enthält nur eine unendliche bestimmte 

 Anzahl idealer Primfactoren. 



Zwei complexe Zahlen, welche genau dieselben idealen 

 Primfactoren enthalten, unterscheiden sich nur durch eine com- 

 plexe Einheit, welche als Factor hinzutreten kann. 



Eine complexe Zahl ist durch eine andere theilbar, wenn 

 alle idealen Primfactoren des Divisors auch in dem Dividendus 

 enthalten sind, und der Quotient enthält genau den Überschufs 

 der idealen Primfactoren des Dividendus über die des Di- 

 visors. 



Aus diesen Sätzen geht hervor, dafs die Rechnung mit com- 

 plexen Zahlen durch Einführung der idealen Primfactoren genau 

 dieselbe geworden ist als die Rechnung mit den ganzen Zahlen 

 und den ganzzahligen realen Primfactoren derselben. Es erle- 

 digt sich somit die Klage, welche ich in dem Breslauer Pro- 

 gramm zur Jubelfeier der Universität Königsberg pap. 18 ausge- 

 stofsen habe: Maxime dolendum videtur, quod haec numerorum 

 realium virtus, ut in faclores primos dissolvi possint, qui pro eo- 

 dem numero semper iidem sint, non eadem est numerorum com- 

 plexorum, quae si esset tota haec doctrina, quae magnis adhuc 

 difßcultatibus laborat, facile absolvi et ad finern perduci possei. 

 etc. Auch sieht man, dafs die idealen Primfactoren die innere 

 Natur der complexen Zahlen aufschliefsen, sie gleichsam durch- 

 sichtig machen und das innere crystallinische Gefiige derselben 

 zeigen. Ist nämlich eine complexe Zahl nur unter der Form 

 a -+- a,a -f- a. 2 a. 2 -f- .... -fr- a x _ i a x ~ i gegeben, so ldfst sich 

 vorläufig wenig über dieselbe aussagen, bis man durch die idea- 

 len Primfactoren derselben (welche hier immer durch directe 

 Methoden vollständig gefunden werden können) ihre einfach- 

 sten qualitativen Restimmungen aufgefunden hat, welche als 

 Grundlagen aller ferneren zahlentheoretischen Untersuchungen 

 dienen. 



