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Note *) schon vor mehreren Jahren ausgesprochen. Dem Be- 

 weise des Satzes in seiner ganzen Allgemeinheit, wie er sich 

 auf dem Wege der Induction hald herausstellte, traten jedoch 

 die grüfsten Schwierigkeiten entgegen, die erst nach vielen frucht- 

 losen Versuchen vollständig überwunden werden konnten. Fort- 

 gesetzte Beschäftigung mit diesem Gegenstande hat dann endlich 

 den Beweis in solchem Grade vereinfacht, dafs wir die Haupt- 

 momente desselben mit wenigen Worten auf eine verständliche 

 Weise zu bezeichnen im Stande sind. 



Als der eigentliche Nerv dieses Beweises ist die Auffindung 

 von h — 1 von einander unabhängigen Auflösungen zu betrach- 

 ten, unter welcher Benennung wir solche verstehen, die zu be- 

 liebigen Potenzen erhoben und in einander multiplicirt, nie die 

 evidente Auflösung t ass 1, u = 0, . . . « = ergeben, aufser 

 wenn sämmtliche Potenzexponenten der Null gleich genommen 

 werden. Sind nämlich h — 1 solche Auflösungen bekannt, so 

 läfst sich vermittelst der in der vorher angeführten Note ent- 

 wickelten Methode, die Gleichung 



<K*)<Ki3).-.<Kp)=='- 



wo r eine gegebene ganze Zahl bezeichnet, immer vollständig 

 auflösen oder doch zeigen, dafs diese Gleichung keiner Auflö- 

 sung fähig ist. Auf den besondern Fall, wo r = l, angewandt, 

 giebt dieses Verfahren die vollständige Auflösung der Gleichung 

 (2) und nach einigen Umformungen des Resultats gerade in der 

 Form, wie sie unser Satz ausspricht. 



Was nun den Nachweis betrifft, dafs immer h — 1 von 

 einander unabhängige Auflösungen existiren, so wird das dazu 

 erforderliche Princip durch gewisse allgemeine Sätze an die Hand 

 gegeben, die eine merkwürdige Verallgemeinerung der Eigen- 

 schaften der Kettenbrüche darbieten und der Akademie schon 

 vor vier Jahren mitgetheilt worden sind **). Mit Hülfe die- 

 ser Sätze kann man immer eine Auflösung der Gleichung (2) 

 finden, für welche der Zahlenwerth jedes der Ausdrücke 

 (jj(a), (J)(|3) . . . <p(p)i die reellen Wurzeln entsprechen, so wie 

 jedes Produkt von je zweien, zu conjugirten imaginären Wurzeln 



•) Monatsbericht für Oktober 184i. 

 **) Monatsbericht für April 1842. 



