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gehörenden nach Belleben unter oder über der Einheit liegt, 

 wenn man nur die zwei offenbar unmöglichen Combinationen 

 ausschliefst, wo alle zugleich gröfser oder alle zugleich kleiner 

 als die Einheit sein sollen. Ist dieser Punkt erst erledigt, so 

 Iäfst sich das über die unabhängigen Auflösungen Behauptete, 

 wie folgt zeigen. 



Bezeichnet man für eine gegebene Auflösung mit a, 5, ... Ar, 

 diejenigen der Ausdrücke <K a )> ty(ß)i • • • 'K/'X welche reell sind, 

 so wie die Produkte von je zwei zusammengehörigen imaginä- 

 ren, so hat man ab . . . k = 1. 



Sollen nun z. B. drei Auflösungen, für die wir a, £, . . . & 

 mit den Indices 1, 2, 3 versehen wollen, unabhängig von einander 

 sein, so mufs die Gleichung 



«? °2 2 °3' = 1 



nicht anders bestehen können, als wenn die ganzen Zahlen m n 

 m zi m 3 gleichzeitig verschwinden. Berücksichtigt man, dafs 

 diese Gleichung, wenn sie stattfindet, nicht aufhören wird, rich- 

 tig zu sein, wenn man a in b oder c verwandelt, und bezeich- 

 net mit den grofsen Buchstaben die Logarithmen der Zahlenwer- 

 the der durch die entsprechenden kleinen ausgedrückten Gröfsen, so 

 sieht man, dafs die Bedingung für die Unabhängigkeit der drei 

 Auflösungen darin besteht, dafs die drei linearen Gleichungen 



A^m v •+- A 2 m 2 ■+- A 3 m 3 = 

 B l m i ~h B 2 m 2 •+• B 3 m 3 = 

 C i m i •+• C 2 m z ~t~ C 3 m 3 = 



keine andere Auflösung in ganzen Zahlen zulassen dürfen als 

 m , = 0, m 2 = 0, w 3 =0. Diese Bedingung wird aber offenbar 

 erfüllt sein wenn die sogenannte Determinante aus den neun 

 Coefficienten oder nach der üblichen Bezeichnung der Ausdruck 

 2; ± A % B 2 C 3 von Null verschieden ist, da alsdann die Gleichun- 

 gen nur auf die angegebene Weise erfüllt werden können, selbst 

 wenn man davon abstrahirt, dafs m n m 2 , m 3 ganz sein sollen. 

 Durch dieses Resultat in Verbindung mit dem vorher erwähnten 

 ist nun ein Mittel gegeben, die Anzahl der unabhängigen Auflö- 

 sungen allmählig zu vergröfsern bis sie gleich /* — 1 geworden 



