16« ANNÉE 



N° 6 



30 MARS 1905 



Revue générale 



des Sciences 



pures et appliquées 



Directeur : LOUIS OLIVIER, Docteur es sciences. 



Adresser tout ce qui concerne la rédaction à M, L. OLIVIER, 22, rue du G<lléral-Foy, Paris. - La reproduction et la traduction des oeuTre» et des traraui 

 publiés dans la Bevu€ sont complètement interdites en Franco et dans ton» les pays étrangers, y compris la Suède, la Norvège et la HoUande. 



CHRONIQUE! ET CORRESPONDANCE 



s 1. 



s 



Mathématiques 



La Th<?orîe des ensembles. — Les travaux du 



Congrès de Heidelberg ont donné lieu à un fait assez 

 paradoxal, auquel nous avons fait allusion en rendant 

 compte de ces travaux '. Dans une séance de la Section 

 d'Arithmétique, .M. Kônig a établi que le continu ne 

 peut être mis sous la forme d'un ensemble bien 

 ordonni', c'est-à-dire * que, si l'on convient d'une règle 

 d'après laquelle, de deux nombres quelconques (com- 

 pris entre et 1), on dira lequel est V antérieur et 

 lequel est le postérieur, il est impossible de faire cette 

 convention de manière que : 1° toutes les fois que a 

 sera antérieur à A et A antérieur k c, a soit forcément 

 antérieur à c; 2° une partie quelconque de l'ensemble 

 considéré (celui des nombres compris entre et 1 ; 

 comprenne un élément antérieur à tous les autres. 



Or, presque immédiatement après, M. Zermelo arri- 

 vait à cette conclusion que tout ensemble peut être 

 bien ordonné : conclusion directement contraire à la 

 précédente. 



La démonstration de M. Konig n'a pas encore été 

 publiée, à notre connaissance. Elle n'a été exposée 

 qu'oralement. On ne peut donc la discuter quant à 

 présent. La discussion sera, d'ailleurs, assez délicate, 

 cette démonstration faisant intervenir les propriétés 

 les moins classiques des nombres aleph de M. Ganter. 



Celle de M. Zermelo a paru dans un fascicule récent 

 des Mathematisclie Annalen : il est d'ores et déjà pos- 

 sible de se faire une opinion à son sujet. 



Beaucoup de mathématiciens ont pensé trouver une 

 lacune dans le point de départ même de la démonstra- 

 tion, point de départ sur lequel, d'ailleurs, l'auteur 

 lui-même avait attiré l'attention à ce point de vue. 



Considérons une inlinité d'ensembles E, définis d'une 

 manière plus ou moins compliquée et constituant eux- 

 niêmes une collectivité dont chaque ensemble E est un 

 individu. 



Un des ensembles E étant donné, il est clair que, dans 

 cet ensemble, on peut envisager en particulier un élé- 



' Voir la Revue du 13 novembre 1904. 

 * Voir l'article de M. Hilbert dans la fleviie du 28 féviier 

 »»01 (p. 169-nO). 



BEVUE GÉXÉRALE DES SCIENCES, 1905. 



ment déterminé e. M. Zermelo suppose cette opération 

 effectuée pour chacun des ensembles E qui constituent 

 la collectivité donnée. C'est cette possibilité qui n'est 

 pas considérée comme évidente. Nous avouons ne pou- 

 voir nous associer à cette critique. 



Certes, il n'est pas du tout évident que nous puis- 

 sions, en fait, intliquer la loi qui présidera au choix de 

 l'élément c dans chaque ensemble E. Mais où voit-on 

 qu'une loi ait besoin de pouvoir être explicitement 

 formulée pour exister ? 



Nous ne saurions mieux faire que de renvoyer, sur 

 ce point, à l'article que M. Tannery a consacré précé- 

 demment, dans la Revue, à la thèse de M. Couturat et à 

 la notion de l'inlini'. On y trouve' expliquée, avec une 

 clarté qui nous paraît ne laisser de place à aucun 

 doute, toute la différence entre une loi qui existe et 

 une loi que nous pouvons caractériser en un nombre 

 fini de mots, ou (comme le dit l'auteur) entre une cor- 

 respondance bien déterminée et une correspondance 

 qui peut être décrite. 



Sans cette différence, notons que les courbes dites 

 topograpliiques ne pourraient exister. Nous avons, il 

 est vrai, entendu soutenir qu'en effet ces courbes 

 n'existaient pas au point de vue mathématique, puis- 

 qu'elles n'étaient définies que physiquement, c'est-à- 

 dire avec une certaine approximation. Cette objection, 

 elle non plus, ne nous paraît pas probante. Les courbes 

 topographiques ou empiriques ne nous sont connues 

 que physiquement; elles peuvent même n'avoir qu'une 

 existence approximative si l'on admet que les corps 

 sont composés de molécules discrètes. Mais il en est, 

 sans aucun doute, autrement dans l'hypothèse delà 

 matière continue. Or, cette dernière est tout aussi 

 mathématiquement possible que l'autre. 



11 suffit, d'ailleurs, nous semble-t-il, d'approfondir un 

 peu la notion de ce qu'on peut appeler courbes définies 

 mathématiquement pour être conduit à la même con- 

 clusion. L'idée de courbe iou, ce qui revient au même, 

 de fonction) a été en s'élargissant progressivement 

 depuis l'Antiquité. Les géomètres du commencement 

 de ce siècle en avaient assurément une conception 



rtev. qén. des bc, tome VIII, p 

 P. 132-134. 



129-140, 1897. 



