JACQUES HADAMARD — lil': !■ LEXIONS SUR LA MÉTHODE HEURISTIQUE 



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Mathématiques soient plus aisément et plus sûre- 

 ment comprises par ces legons modèles que par la 

 méthode heuristique? Cela dépend de ce qu'on 

 entend par « comprendre ». 



» Ce mot — disait M. Poincaré au Musée pédago- 

 gique — a-t-il le même sens pour tout le monde? 

 Comprendre la démonstration d'un théorème, est-ce 

 examiner successivement chacun des syllogismes 

 dont il se compose et constater qu'il est correct, 

 conforme aux règles du jeu ? De même comprendre 

 une définition, est-ce seulement reconnaître qu'on 

 sait déjà le sens de tous les termes employés et 

 constater qu'elle n'implique aucune contradiction? 



« Oui, pour quelques-uns; quand ils auront fait 

 cette constatation, ils diront : J'ai compris. Non, 

 pour le plus grand nombre. Presque tous sont plus 

 exigeants : ils veulent savoir, non seulement si 

 tous les syllogismes d'une démonstration sont 

 corrects, mais pourquoi ils s'enchaînent dans tel 

 ordre plutôt que dans tel autre. Tant qu'ils leur 

 semblent engendrés par le caprice et non par une 

 intelligence constamment consciente du but à 

 atteindre, ils ne croient pas avoir compris. » 



J'ai tenu à citer tout au long ces paroles : elles 

 pourraient servir d'épigraphe au présent article. 

 Il est clair que M. Poincaré met le doigt sur la 

 plaie. Ceux dont il décrit ainsi l'état d'àme, et qui, 

 sans s'en douter eux-mêmes, veulent, ajuste titre, 

 pour comprendre, aulre chose que ce que notre 

 enseignement leur offre en général, représentent 

 bien souvent la majorité. 



A ce mal, dont soufTre gravement l'enseignement 

 des Mathématiques au lycée, j'espère que la mé- 

 thode heuristique pourra apporter un remède. Ce 

 que je sais, c'est que les autres méthodes actuelle- 

 ment en usage ne paraissent guère capables de la 

 remplacer à ce point de vue. 



J'espère avoir montré pourquoi il ne suffira pas, 

 pour abandonner cette méthode, de constater que 

 son application soulève des difiicultés : il faudra 

 prouver que ces difficultés sont insurmontables, 

 ou, du moins, assez graves pour nous forcer à 

 renoncer aux avantages prédominants qu'elle com- 

 porte. 



Ce n'est pas une raison, bien entendu, pour qu'il 

 ne soit pas indispensable de se préoccuper de ces 

 difficultés et de les résoudre. Je crois, avec M. Du- 

 rand, qu'on n'y a pas assez songé jusqu'ici. On s'est 

 mis à parler de la méthode heuristique; on en a 

 discuté les mérites et les défauts, sans s'être 

 entendu sur la façon dont on la conçoit. Je ne 

 pense pas cependant qu'elle s'improvise ; et, 

 pour ma part, depuis de longues années que je 

 l'applique, l'expérience me conduit sans cesse à 

 modifier, sur un point ou sur un autre, ma 



manière de procéder. C'est dire que je ne saurais 

 avoir la prétention d'énoncer des règles défini- 

 tives; je croirai avoir atteint mon but si les 

 rétlexions que je vais présenter en amènent 

 d'autres'. 



m 



Tout d'abord, comment les collégiens résoudront- 

 ils des questions qui n'ont pu être élucidées sans le 

 génie d'un Archimède, d'un Pylhagore ou d'un 

 Newton? C'est, nous l'avons vu, l'objection qui se 

 présente immédiatement à l'esprit. M. Durand, qui 

 la pose, fournit implicitement la réponse quand il 

 compare les Mathématiques à un escalier à gradins 

 irréguliers, dont quelques-uns sont trop hauts pour 

 être franchis sans laide du maître. 

 . La conclusion ressort avec évidence. Si les gra- 

 dins sont trop hauts, il faut y pratiquer d'autres 

 gradins plus petits. On devra fractionnel' les ques- 

 tions de manière à les mesurer aux intelligences 

 auxquelles on les présente. 



Pour ceux qui tiendront à opérer prudemment, 

 ou que le niveau de la classe obligera de le faire, 

 il n'y aura à ce fractionnement aucune limite. Plus 

 l'auditoire aura besoin d'être ménagé, plus on 

 pourra simplifier les questions. Aucune ne le sera 

 au point que sa résolution soit sans bénéfice pour 

 l'esprit. Par exemple, l'exécution pure et simple 

 d'un calcul algébrique dont la marche vient d'être 

 indiquée par le professeur est déjà un exercice 

 profitable. Quelques-uns de ces calculs pourront 

 être tout à fait analogues à ceux qui sont proposés 

 d'habitude en devoirs. Je ne vois pas d'inconvé- 

 nient à ce que l'un de ces devoirs soit une partie 

 du cours ; je vois, au contraire, toute espèce d'avan- 

 tages à faire sentir aux élèves que cette partie ne 

 compte pas au point de vue de la difficulté, puis- 

 qu'elle ne diffère pas de ce qu'ils sont habitués à 

 faire par- eux-mêmes. 



Mais, en général, on pourra bientôt faire un pas 

 de plus, et, au lieu de procéder à des calculs pour 

 lesquels l'application des règles n'olTre aucune 

 sorte de difficulté, en proposer d'autres où cette 

 application exige un certain effort d'attention, où, 

 par exemple, elle cache des pièges, comme ceux 

 que l'intervention des inconnues auxiliaires réserve 

 souvent aux débutants. Les questions « heuris- 

 tiques » se borneront alors le plus souvent à crier 

 casse-cou. 



Tailler des marches dans les pentes qu'il s'agit 



' Au moment d'envoyer ces lignes h l'impression, je 

 reeois le nouvel ouvrage {I.'enseiçincmcnt des Sciences ma- 

 thémaliqucs cl physiques dans l'enseigncmcut secondaire 

 des gainons en Allemagne, Imprimerie nationale, 1905) dans 

 lequel M. Marotte répond, pour sa part, au désir que j'ex- 

 prime ici, en précisant la m.aniére dont la méthode est 

 appliquée en .\llemagne. J'en reparlerai un peu plus loin. 



