JACQUES HADAMARD — m'FLEXIONS SUR LA MÉTHODE HEURISTIQUE 



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l'élève lui-même à les diriger, c'est ce que j'ai 

 essayé ailleurs' d'esquisser. 



J'ai tenté, autrement dit, de dégager les règles 

 que tous les mathématiciens suivent inconsciem- 

 ment lorsqu'ils raisonnent ou, du moins, les princi- 

 pales d'entre elles, celles qu'on retrouve sensible- 

 ment les mêmes, dans la plupart des exemples. Ce 

 sont, d'ailleurs, des règles de bon sens, des Iruismes 

 pour ainsi dire. Elles reviennent, en somme, ù poser 

 correctement le problème principal. 



Doit-on dire que cela suffit toujours pour le ré- 

 soudre? Évidemment non : nul ne peut avoir la pré- 

 tention de réduire la science en machine. Une fois 

 qu'on a bien compris hi position de la question, 

 il reste néanmoins, en générai, quelque chose à 

 trouver. 



De ces deux éléments de la solution — l'applica- 

 tion de règles nécessaires de logique ou l'invention 

 proprement dite — quel est celui qui manque le 

 plus souvent aux élèves? Tout porterait à croire 

 que c'est le second; l'expérience montre que c'est 

 le premier, celui qui, semble-t-il, ne devrait pas 

 compter. 



Il s'agit, par exemple, d'un cercle: l'élève n'ignore 

 pas la définition du cercle ; il la dira sans hésitation 

 si vous la lui demandez. Mais, de lui-même, il ne 

 se la demandera pas et ne pensera pas que ce soit 

 le moment de se la ra])peler. Il ne pensera pas à se 

 demander quelle est l'hypothèse du théorème qu'il 

 doit démontrer, ou il négligera de s'en servir. C'est 

 d'une de ces causes ou d'autres tout analogues que 

 proviendra la ]ilupart du temps son embarras. 

 Quand on l'aura astreint à " substituer la définition 

 ■ au défmi »,à utiliser toute l'hypothèse, quand encore 

 — il faut avoir interrogé des étudiants de Faculté 

 pour imaginer l'ignorance qui, actuellement, peut 

 subsister sur ce point après des années d'études 

 malhèmatiques — ou l'aura forcé à s'assurer que 

 chacune des transformations qu'il fait subir à la 

 question n'en altère pas la signification véritable, 

 on constatera que l'aide qui lui est ainsi apportée 

 est, la plupart du temps, la seule dont il avait 

 besoin. 



L'enseignement ainsi entendu, tout en étant heu- 

 ristique, restera, comme on le voit, didactique en 

 un certain sens : il enseignera des règles de mé- 

 thode au lieu de résultats. Seulement, bien entendu, 

 ce ne sera pas un exposé à priori ; il sera exclusi- 

 vement pratique et interviendra à mesure que les 

 occasions se présenteront de le donner. 



On voit par là comment nous pourrons réaliser 

 ce double idéal, en apparence contradictoire, d'une 

 méthode qui ne doit ni abandonner l'écolier à ses 



' I.ccons (le Géométrie élémentaire (f,'éométi'ie planel, 

 Note .\. 



propres forces ni lui souffler directement ou indi- 

 rectement ce qu'il doit dire. 



H est clair que nous sommes loin du reproche de 

 dissimulation que nous avions craint d'encourir 

 tout à l'heure. 



Xon seulement nous n'aurons pas à faire illusion 

 à nos élèves, mais nous leur montrerons soigneu- 

 sement ce qui leur aura manqué. Nous n'aurons- 

 pas à craindre, dans ces conditions, le danger, très 

 grave évidemment, dont nous menace M. Durand 

 et qui a particulièrement frappé M. Tannery : cette 

 sorte de frottement au départ, grâce auquel l'esprit 

 attendrait toujours du dehors l'impulsion initiale 

 qui le mit en mouvement. Cette impulsion, les- 

 règles dont nous avons parlé ont précisément pour- 

 objet de la fournir. A nous de forcer l'élève à s'en 

 servir et de lui faire sentir qu'il est dans son tort 

 en ne les appliquant pas. 



Pour arriver à ce résultat, faudra-t-il, comme 

 nous l'avions pu supposer plus haut, faire traiter 

 heuristiquement /o(;/ts les questions? Evidemment 

 non : cela n'est ni indispensable, ni même dési- 

 rable. On appliquera la méthode heuristique, pas 

 assez pour s'y noyer, assez fréquemment, cependant , 

 non seulement pour la faire comprendre, mais pour 

 faire sentir qu'on aurait pu l'employer toujours si 

 on l'avait voulu. 



Nous laisserons tout d'abord de côté les quelques, 

 questions véritablement difficiles, où la difficulté 

 ne se laissera pas fractionner, toutes celles, en un 

 mot, où il faudrait intervenir autrement que par les. 

 règles très générales de méthode dont nous avons 

 parlé, combinées avecl'intuition que l'on peut natu- 

 rellement obtenir de l'élève. Celles là, si tant est 

 qu'elles existent, sont l'exception; les autres sont 

 assez nombreuses pour qu'il faille choisir entre 

 elles. Nous pourrons écarter encore, en particulier, 

 non seulement les solutions plus ou moins artifi- 

 cielles, — il est clair qu'il ne faut, autant que 

 possible, les enseigner ni par la méthode heuris- 

 tique, ni autrement, — mais aussi, au moins au 

 premier abord, les démonstrations très parfaites, 

 très systématisées, dans lesquelles on est trop 

 souvent obligé de masquer l'idée primitive par la 

 perfection des détails : — toujours les « idées fos- 

 siles». Le théorème des projections est fait pour- 

 être en.seigné ex professa, et aussi la méthode des 

 isopérimètres, si elle n'avait pas heureusement 

 disparu des programmes; mais il n'en est pas de 

 même pour la méthode des périmètres. Non seu- 

 lement cette dernière ne renferme rien qui ne- 

 puisse être rediscovered, mais l'élève peut et doit 



