16' ANNÉE 



N° 1-2 



30 JUIN 1905 



Revue générale 



des Sciences 



pures et appliquées 



Directeur : LOUIS OLIVIER, Docteur es sciences. 



Adresser tont ce qui conMme la rédaction à M. L. OLIVIER, 23, rue du Genéral-Foy, Paris. — La reproduction) et la traduction des œuTres et des trayaut 

 pubUés dans la Revue sont complètement interdites en France et dans tous les pays étrangers, y compris la Suède, la Xoryège et la Hollande. 



CHRONIQUE ET CORRESPONDANCE 



§ 1. — Mathématiques 



Les principes des .Matliéiiialiques et le 

 problème des «•nsembles. — Xoiis avons reçu 

 de M. .1. Richard, professeur au Lyct^e de Dijon, la lettre 

 suivante : 



« Dans son numéro du .'<0 mars 190n, la Revue si- 

 gnale certaines contradictions qu'on rencontre dans la 

 théorie générale des ensembles. 



Il II n'est pas nécessaire d'aller jusqu'à la théorie des 

 nombres ordinaux pour trouver de telles contradic- 

 tions. En voici une qui s'ofîre dès l'étude du continu, 

 et à laquelle plusieurs autres se ramèneraient proba- 

 blement : 



« Je vais définir un certain ensemble de nombres, 

 que je nommerai l'ensemble E, à l'aide des considéra- 

 tions suivantes : 



i; Ecrivons tous les arrangements deux à deux des 

 vingt-six lettres de l'alphabet français, en rangeant ces 

 arrangements par ordre alphabétique, puis, à la suite, 

 tous les arrangements trois à trois, rangés par ordre 

 alphabétique, puis, à la suite, ceux quatre à quatre, etc. 

 Ces arrangements peuvent contenir la même lettre 

 répétée plusieurs fois, ce sont des arrangements avec 

 répétition. 



" Quel que soit l'entier p, tout arrangement des 

 vingt-six lettres p à p se trouvera dans ce tableau, et 

 comme tout ce qui peut s'écrire avec un nombre fini 

 de mots est un arrangement de lettres, tout ce qui peut 

 s'écrire se trouvera dans le tableau dont nous venons 

 d'indiquer le mode de formation. 



I' La définition d'un nombre se faisant avec des 

 mots, et ceux-ci avec des lettres, certains de ces arran- 

 gements seront des définitions de nombres. Biffons de 

 nos arrangements tous ceux qui ne sont pas des défini- 

 tions de nombres. 



" Soit », le premier nombre défini par un arrange- 

 ment, «5 le second, Uj le troisième, etc. 



<t On a ainsi, rangés dans un ordre déterminé, tous 

 les nombres définis à l'aide d'un nombre fini de mots. 



X Donc : Tous les nombres qu'on peut définir à l'aide 

 d'un nombre fini de mots forment un ensemble dénom- 

 brable. 



« Voici maintenant où est la contradiction. On peut 



RBVUE GÉXIRALE DES SCIENCES, 1905. 



former un nombre n'appartenant pas à cet ensemble. 

 Il Soit p, la /;'«■"« décimale du z/''"" nombre de l'ensemble 

 E; formons un nombre ayant zéro pour partie entière, 

 et pour y/'™" décimale p + i, si p n'est égal ni à 8 ni 

 à 9, et l'unité dans le cas contraire ». Ce nombre N 

 n'appartient pas à l'ensemble E. S'il était le «'^""' nom- 

 bre de l'ensemble E, son v;'*™ chifl're serait le n'*""" eliif- 

 fre décimal de ce nombre, ce qui n'est pas. 



« Je nomme G le groupe de lettres entre guillemets. 



« Le nombre N est défini par les mots du groupe G, 

 c'est-à-dire par un nombre fini de mots ; il devrait 

 donc appartenir à l'ensemble E. Or, on a vu qu'il n'y 

 appartient pas. 



t< Telle est la contradiction. 



« -Montrons que cette contradiction n'est qu'appa- 

 rente. Revenons à nos arrangements. Le groupe de 

 lettres G est un de ces arrangements; il existera dans 

 mon tableau. Mais, à la place qu'il occupe, il n'a pas 

 de sens. 11 y est question de l'ensemble E, et celui-ci 

 n'est pas encore défini. Je devrai tlonc le bilfer. Le 

 groupe G n'a de sens que si l'ensemble E est totalement 

 défini, et celui-ci ne l'est que par un nombre infini de 

 mots. Il n'y a donc pas contradiction. 



« On peut encore remarquer ceci : L'ensemble de 

 l'ensemble E et du nombre N forme un autre ensemble. 

 Le second ensemble est dénombrable. Le nombre iN 

 peut être intercalé à un certain rang k dans l'ensemble 

 E, en reculant d'un rang tous les autres nombres de 

 rang supérieur à A". Continuons à appeler E l'ensemble 

 ainsi modifié, .\lors le groupe de mots G définira un 

 nombre y diûévent rfe N, puisque le nombre N occupe 

 maintenant le rang A-, et que le A'*"' chiffre de N' n'est 

 pas égal au A'*""» chifTre du A''"" nombre de l'ensemble 

 E. » J. Richard, 



Professeur au Lyc^e de Dijon. 



Les contradictions que nous signalions précédem- 

 ment' dans la théorie des ensembles, et dont M. J. Ri- 

 chard étudie et éclaircit d'une manière définitive un 

 autre exemple, ont, de nouveau, attiré l'attention de 

 M. Hilbert. C'est un sujet sur lequel il revient dans sa 

 Communication présentée en août 1904 au Congrès do 



' Revue du 30 n.ars d.rnler 



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