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CHRONIQUE ET CORRESPONDANCE 



lleidelljerg, iiniiimiiiii;aliiiii qui vit'iil d'être traduite en 

 français par M. Pierre Houlroux'. 



M. Hilbert fait spécialement allusion au paradoxe qui 

 concerne F .< ensemble de tous les ensemldes », et qui, 

 en effet, est, au premier abord, assez troublant, du moins 

 s'il est bien spécillé qu'un ensemble ne doit pas se 

 renfermer lui-même comme élément. Faut-il admettre 

 que l'ensemble E, ayant pour éléments tous les en- 

 sembles possibles, existe, — puisqu'il suffit, pour con- 

 stituer un ensemble, d'avoir défini ce qui en fait partie 

 et ce qui n'en fait pas partie"? 



Faut-il admettre qu'il n'existe pas, puisque, dans le 

 cas contraire, E serait, par définition, un ensemble non 

 contenu dans E ? 



Nous voilà revenus à Zenon d'Elée. 



Pour écliapper à ce paradoxe, M. Hilhert, dans la 

 nouvelle théorie qu'il propose, juue nécessaire de chan- 

 ger complètement la définition tlu mot « ensemble ■■ : 

 il regarde la notion d'un ensemlde comme antérieure 

 à celle de ses éléments, au lieu qu'elle en soit le résultat. 

 C'est, au moins en principe, une manière d'opérer 

 assurément légitime, comme toutes les conventions. 

 Ce qui est moins évident, c'est l'utilité d'un pareil chan- 

 gement. 11 ne nous parait pas nécessaire, en tout cas, 

 pour éclaircir la contradiction signalée plus haut ; 

 celle-ci, à notre avis, relève des remarques de M. Hi- 

 chard, lesquelles ont une portée tout à fait générale et 

 ne doivent pas être perdues de vue dans ces sortes de 

 discussions. Pour former un ensemble avec certains 

 éléments, encore faut-il que ceux-ci existent au préa- 

 lable. II ne nous paraît pas douteux qu'une solution tout 

 analogue ne s'applique à l'antinomie de M. Burali 

 Forti ' sur l'ensemble W de tous les nombres ordi- 

 naux. Celui-ci, comme l'ensemble E de tout à l'heure, 

 devrait, en conséquence, être considéré comme non 

 existant '. 



Au reste, il est évident a priori qu'un changement 

 dans les définitions n'est pas nécessaire pour réfuter 

 une antinomie, et même qu'il n'y suffit pas à pro- 

 prement parler. Dans le cas présent, par exemple, la 

 contradiction n'est pas évitée par ce seul fait qu'on a 

 proposé d'étudier des " ensembles hilbertiens » (c'est-à- 

 dire des ensembles définis à la façon de M. Hilbert) : il 

 faudrait encore interdire d'étudier des ensembles défi- 

 nis par la voie classique. Du moment que cette der- 

 nière est légitime (ce qui est assurément le cas, puisque 

 c'est une définition nominale), il est clair que, correcte- 

 ment employée, elle ne doit conduire à aucune contra- 

 diction. 



La solution qui consiste à considérer les nombres 

 ordinaux comme existants, mais l'ensemble complet de 

 ces nombi'es comme non existant, avait été indiquée 

 par IVI. Hilbert en 1900 au Congrès de Paris, mais sous 

 une forme différente, qui se rattache d'ailleurs au sujet 

 de sa Communication de 1904. 



Dans cette dernière, en effet, bien que la question 

 des ensembles tienne, comme nous venons de le voir, 

 une certaine place, l'objet principal est plus général. 

 Il se rattache à un ordre d'idées sur lequel l'auteur 

 a insisté à maintes reprises dans ces dernières années. 

 Pour fonder une théorie mathématique ou logique, 

 M. Hilbert admet qu'il est nécessaire et suffisant de 

 trouver une liste d'axiomes desquels on puisse prouver: 



' L'Enseignement matliéaiati'/ue, i'j mars 1905. 



" Circolo Mat. di Palermo. 189". 



' C'est par cette voie que le pai'aibixe de Biu'ali Forti nous 

 parait devoir être éclain-i, et non par celle que propose 

 M. Félix Hernstein {Math. Annalan, t. LX , 2' caliiei-;, 

 laquelle rtinsiste à admetti'e qu'on ne peut pas ajouter 1 au 

 nombre unlinal W. Cette hypothèse n'est pa.s défendable; 

 à notre avis, l'opération W + 1 est définie iiar G. Canlor 

 d'une manière tout à fait générale, el celle définition ne 

 soullVe aucune (liriiculté, quel cpic soit W. — Seulement, 

 l'ensemble W, ipii, par bypollièse, était jusc|ue-là le plus 

 général que l'on put IcH'iner avec les objets de pensée t/'ores 

 et ilo.jà existants, cesse de posséder cette propriété après 

 l'introduclion du W -f 1 i*^""» oDJ el. 



1° Qu'ils sont exempts de contradiction: 2° qu'ils sont 

 indépendants entre eux et suffisent pour raisonner sur 

 la théorie en question. Autrement dit, parmi les divers 

 modes de définition utilisés en Mathéniati<|ues, il pré- 

 conise, à l'exclusion de toutes les autres, les définitions 

 « par postulats ». 



On peut contester la légitimité de ce point de vue, 

 et particulièrement l'opportunité de recourir aux défi- 

 nitions par postulats dans les cas où les définitions 

 « nominales' » sont possibles, c'est-à-dire où les no- 

 tions à définir peuvent être construites de toutes pièces 

 à l'aide de notions plus simples. Notons cependant que, 

 même alors, les définitions par postulats ou par axiomes 

 ont une fécondité à laquelle les définitions nominales 

 ne peuvent prétendre, grâce aux généralisations qu'elles 

 permettent. 



Pour ce cas de notions « dérivées », l'absence de 

 contradiction entre les axiomes est aisée à vérifier. Il 

 suffit, précisément, d'alléguer la constitution, à l'aide 

 de notions antérieurement acquises, d'un concept 

 satisfaisant à ces axiomes. C'est ce qui arrive pour la 

 Géométrie, que l'on peut construire à l'aide des nom- 

 bres. Seulement, comme nous venons de le voir, ce cas 

 simple des notions dérivées est aussi, en général, le 

 moins intéressant. 



Pour les notions premières elles-mêmes, la difficulté 

 est tout autre et paraissait jusqu'ici insoluble. C'est à 

 elle que s'attaque, cette fois, M. Hilbert. 



Celte difficulté, comme dans toutes les démonstrations 

 négatives, réside dans la multiplicité des raisonnements, 

 des combinaisons logiques que l'on peut former avec 

 les axiomes fondamentaux. C'est prévoir, en quelque 

 sorte, la série complète des résultats qui pourront être 

 obtenus par ces combinaisons logiques, que d'affirmer 

 à l'avance que ces résultats ne présenteront pas de 

 contradiction. 



Mais, avant tout, il faut commencer par poser la 

 question. Qu'entendrons-nous par tontes les combi- 

 naisons logiques possibles? C'est, on le sait, un sujet 

 profondément étudié, dans ces dernières années, par 

 toute une école de logiciens, tels que MM. Peano, Rus- 

 sell, etc. Une coordination serait souhaitable, entre les 

 travaux de cette Ecole et les recherches actuelles de 

 M. Hilbert, et l'on peut regretter que, dans la rédaction 

 sommaire qu'il a présentée à Ileidelberg, l'auteur n'ait 

 pas eu le temps d'indiquer la concordance entre les 

 deux points de vue. Il est clair, par exemple, qu'il y 

 aurait lieu de savoir si toutes les règles de logique, 

 telles qu'elles ont été posées par les auteurs que nous 

 venons de nommer, sont introduites dans les combi- 

 naisons logiques dont il s'agit. Au premier abord (loc. 

 cit., p. 94)^ on est tenté de croire que le seul principe du 

 syllogisme est pris en considération ; mais la fin du 

 travail (p. 102) semble indiquer que les choses ne 

 doivent pas être entendues ainsi. 



D'autre part, les principes de logique énoncés 

 jusqu'ici sont-ils les seuls qui existent et qui pourront 

 être utilisés par l'esprit humain".' Tout ce que nous 

 pouvons dire, c'est que tous les raisonnements — parti- 

 culièrement tous les raisonnements mathénuitiques — 

 actuellement construits paraissent reposer sur ces 

 principes seuls. Mais, aussi Iden qu'il a pu exister, dans 

 l'histoire de la pensée humaine, une époque où per- 

 sonne n'avait songé à se servir, par exemple, de l'in- 

 duction complète, il n'est pas absolument évident que 

 l'avenir ne fera pas découvrir quelque autre propriété 

 des notions premières, non réductible à celles que 

 nous connaissons. 



Si l'on considère les principes généraux de la Logique 

 déductive comme préexistant aux Mathématiques, 

 M. Hilbert ne peut, on le voit, affirmer l'absence de 

 contradiction de ses axiomes que moyennant un pos- 

 tulat, à savoir l'inexistence de principes logiques encore 

 inconnus. S'il est vrai que cette inexistence est asse^ 



' Voir Coutcrat: Définitions et démonstrations matliéina. 

 tiques, Enseignement matliémalique, 15 mars 1905. 



