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BIBLIOGRAPHIE 



ANAI,VSES RT IM)KX 



BIJîLIOfrRÀPHIE 



ANALYSES ET INDEX 



1° Sciences mathématiques 



'l'aiinery (Jules), Suiis-Dueclrnr des éludes scienli- 

 Fiques à FKcoIe Aoniinle sujiérieiire. — Introduc- 

 tion à la Théorie des Fonctions d'une variable. 



Diii\ienii/ rdiliiiii enliricinriil rel'uiidilv ; tome I : 



■Nombres irrationnels, ensembles, limites, séries, 

 produits infinis, fonctions élémentaires, dérivées. 

 — 1 vol. ijiaiid hi-X' (l'iix : 1 V /V. '. Ilermanii, éditeur. 

 Paris, iyo:_i. 



M. Tannery nous donne aujourd'hui une seconde 

 rdilion, complètenienl lefondue, de son Introduction ii 

 hi tliéorie des l'onctioiis d'une variable : la première 

 (■dition, qui parut il y a une vingtaine d'années, avait 

 été très remarquée, tant par ses qualités de clarté', de 

 précision et de rigueur, que par les vastes perspectives 

 qu'elle ouvrait aux étudiants sur le riche domaine de 

 r.Analyse moderne. Le livre n'était pas, à proprement 

 parler, un ouvrage d'enseignement élémentaire; mais, 

 destiné avant tout aux futurs professeurs, qui, au mo- 

 ment de quitter les bancs de l'Ecole, ont besoin de 

 coordonner et de préciser les connaissances acquises, 

 il devait forcément inlluer sur l'enseignement des fon- 

 dements de l'Analyse : cette inlluence fut, en effet, con- 

 sidi'rable, et elle a heureusement persisté pour le plus 

 grand bien des études mathématiques, malgré les néces- 

 .silés parfois fâcheuses de la préparation aux examens, 

 et aussi en dépit des caprices de la mode. 



M. Tannery a jugé le moment venu de remettre son 

 o'uvn^ au courant des récents progrès de l'Analyse : en 

 réalité, il a fait un livre nouveau qui, d'ailleurs, 

 s'adresse comme l'ancien à ceux qui, déjà familiers 

 avec les éléments, ont besoin d'assurer à leurs con- 

 naissances des bases solides, et en même temps de les 

 synihéliser en les réduisant à leurs éléments essentiels, 

 lians cette nouvelle édition, l'auteur ne s'est pas inter- 

 dit les représentations géométriques, qui lui paraissent 

 ausbi légitimes que toute autre formule, à condition de 

 ne [las nuire à la rigueui-. Une place plus large aussi 

 es! faite à la théorie des ensembles, dont l'importance 

 grandit chaque jour; cette théorie s'introduit naturel- 

 linieiit dès l'origini.', à propos du nombre irrationnel, 

 dont la connaissance équivaut à celle d'une coupure en 

 deux classes de l'ensemble des nombres rationnels, 

 points de vue que, dans l'édition actuidle, M. Tannery 

 adopte exclusivement. La théorie des ensembles est 

 liée à la notion de limite ; aussi, après avoir, dès 

 1 aboi'd, édili('^ la tln'orie des nombres irrnlionnels 

 couiplétéi' par une courte digression sur les fiactions 

 coutinui's considc'i'ées surtout comme moyen d'appro- 

 ximaliiui, l'auteur s'attarpie ensuite aux enseiuljles 

 iiiiinis di' nombres dont il l'dablit les propriédés fonda- 

 inentales i bornes inféiieuie et supi-rieui'e, points d'accu- 

 mulation i; il lesappli(iue aussitôtà pro]ios de la notion 

 de limite d'une suite mlinie, puis il gé'néialise la no- 

 lion pour des ensembh's d'éléments qui ne seraient pas 

 exclusivement des nombres, délinil deux ensembles de 

 même puissance, étudie les ensembles dénombrahles 

 ou de méuje puissance que l'ensemble des nombres 

 entiers, el distingue, parmi tousli's Tiombres d'un inter- 

 valle donné-, l'ensemiile dénombrable de ceux qui sont 

 ali/éhriifiies. les .iiuti'es étant dits transcendants; tout 

 ensemble qui a même ]>uissance que la totalité des 

 uondires de l'intervalle 0-1 a la juiissance du continu. 

 Le chapitre S(r termine par les notions d'i'nsenible 

 dérivé, d'ensemble clos et d'ensendile dense. Les cha- 

 pitres suivants s'appuieront sur celle Ihi'orie; ils dilTè- 

 rent par là, et aussi eu gi-n(>ral ]iar le plan et par des 



couqiléuients. des cha|iitLes lorrespoiulants de la pre- 

 mière édition. 



Le chapitre III est consacré aux séries et aux pro- 

 duits inlinis : au début sont l'tudiées les séries harmo- 

 niques par la méthode qui, généralisée, londuit à une 

 règle bien connue de Cauchy ; ensuite, la théorie des 

 séries à entrée multiple et des produits infinis est faci- 

 litée par la. théorie des ensembles; puis on arrive aux 

 règles ordinaires de convei-geiice, coniplété-es par quel- 

 ques théorèmes nouveaux, tids, par exemple, que la 

 limite supérieure du rayon de convergence déduite de- 

 la règle 



V Un 



sur 



i-s fr^ 



le chapitre se termine par un paiagrajdi 

 lions continues illimité'cs. 



Avec le chapitre suivant commence l'étude des fonc- 

 tions, définies au poijit de vue le plus gé-néral de la cor- 

 ri'spondance entre deux ensembles ; M. Tannery établit, 

 de ce point de vue, et comme consé'(|uence de la thé(U'ie- 

 di's ensembles, les premières projiriétés, notamment 

 celles qui se rapportent aux bornes de la fonction et à 

 sa continuité : cette édude est mise au courant des tra- 

 vaux récents. Puis l'auteur montre dans quelle mesure 

 est admissible la leprésentalion géonudrique usuelle 

 des fonctions, et fait pressentir quelles hypothèses elle 

 suppose implicitement; le chapitre se lermine pai- l'ap- 

 plication de ces généralités aux fonctions les plus 

 simples : d'abord le polynôme entier, étuilié au voi- 

 sinage d'une valeur .Vo de la variable à l'aide des poly- 

 nômes dérivés successifs, puis la fraction rationnelle, 

 éludiée de même dans les deux cas où .Vo est ou non 

 un pôle, et enfin l'exponentielle, la fonction logarith- 

 mique et .ï"'. 



l'n chapitre est consacré aux séiies a termes va- 

 riables; il débute jiar la notion de convergence uni- 

 l'orme pour une foncliou /'„'.v] de deux variables /( et .r 

 dont la premièi-e prend les valeurs des nombres natu- 

 rels; des i-xemples simiiles é-clairent cidle notion déli- 

 cate, qui s'applique aussiti'il aux sé-ries à termes varia- 

 bles, et notammeirt aux séries i-ntières ; le chapitre .se- 

 poursuit par l'étude des sérii-s enlièr-es usuelles, et 

 notamment des sérii-s exponentielle et du binôme; la 

 sorrrme de la sérii- exponentielle est établie par les 

 deux mélhoiles ; propriété- de la mulliiilicatiorr, oip 



recherche ilirecte de la linrih- di' [ I -I- — ) pour' tu 



\ "iJ, 

 irriirri, en s'appuyaut sur- la eonvergerrce uniforme; la 

 comparaison de e^ au polynôme entier perim-t de mon- 

 her la transcendance de la foncliorr : b- dévi-loppement 

 de a' conduit aux sérii-s logarithmi(iui-s. Puis on arrive 

 airx fonctions hyperbidiques délinies à l'aiile de l'expo- 

 rri-ntielle, et enfin aux fonctions circulaires dont les. 

 dé-veloppements i-n si^rii-s sont déduils di-s birmules- 

 (raddili<m, et corrrplétés par les expressions sous former 

 de produits inlinis et les dévi-loppements polaires usuels^ 



qui préparent la tlu'orie des fouclions i 



chapitre se termine par- la Iransforrualiou 

 infini de la série 



iptiques : la' 

 (-n piodnit 



si importante dans cidli- Ihéoiie. 



l'n autre chapitre traite des dérivéïs, arrxqu(-lles on 

 esl naturellemc-rri conduil en substituani au graphique 

 de la fonction urr polygoire irrscrit de côlés iudéliniment 

 ilé(-i-oissants. L'exisli-nce delà déi-ivée entraîne la conti- 

 nuité de la fonction, mais la réciproque n'est pas vraiei 



