BIBLIOGRAPHIE — ANALYSES ET INDEK 



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BIBLIOGRAPHIE 



ANALYSES ET INDEX 



1° Sciences mathématiques 



Borel (limile), ^lailre de Conlerences ;) l'Ecole \oi- 

 iiidIo siipi'ficiire. — Leçons sur les Fonctions de 

 variables réelles et les développements en séries 

 de polynômes, professées ù J'Iù'ole Xonuule supé- 

 rieuve, rédigées par M. M. Fréchet, avec notes par 

 MM. P. Painlevé et H. Lebe-gue. — 1 vol. gr. iii-i" de 

 \ui-\'ôO pages. Gaulliier-Villars, éditeur. Paris, 1905. 



On sait que, depuis plusieurs années, paraît, h la 

 maison Gauthier-Villars et sous la direction de M. Em. 

 Borel, une collection de monographies sur la théorie 

 des fonctions, dont plusieurs rédii;ées par M. Borel lui- 

 même. Ce savant, soit par rimportance de ses travaux 

 ■personnels, soit par son érudition, est un de ceux, bien 

 rares, qui ont pénétré le plus à fond dans ces difficiles 

 matières. Le présent volume est un des plus récents de 

 la collection. 



.\près avoir rappelé plusieurs points dans la théorie 

 des enseinliles et précisé la notion de continuité, on 

 passe aux problèmes fondamentaux, objets du livre. 



Soit : 



1) 



/(.v)='Vi,„r.v) 



une série convergente, où la fonction //„'.v) est continue' 

 La fonction /'(a) est-elle forcément continue? La ques- 

 tion est fort délicate. Cauchy (Stolz et Gmeiner, 

 « Einleitung in die Kunctionentheorie », Leipzig, Teub- 

 ner, 1904) a cru démontrer l'affirmative et n'a commencé 

 à douter qu'à la lin de sa vie. En réalité, la réponse est 

 négative. I.e problème a été résolu en ces tout derniers 

 temps jiar la notion, due à M. Arzela, de la convergence 

 qtiasi-iinifûrine, pourles séries. Une pareille convergence 

 pour la série {l) est, pour la fonction /'(a), la condition 

 nécessaire el suftisaiite de continuité. 



Un théorème de Weierstrass dit que toute fonction 

 continue est représentable par une série de polynômes. 

 M. Borel en donne diverses démonstrations. Il s'aait de 

 trouver un polynôme P„ (.vl, de degré ;;, dilTérent de la 

 fonction continue /(a) aussi peu que possible et, notam- 

 ment, moins que tout autre polynôme de degré moindre 

 ou égal. Intervient la méthode de TchébichelT. Il se 

 passe là quelque chose qui ressemble au développement 

 d'une quantité incommensurable en fraction continue 

 à réduites ralionnelles. 



La réciproque du théorème de Weierstrass est 

 fausse. Une série de fonctions continues (notamment 

 de polynômes) peut représenter une fonction discon- 

 tinue. M. Baire {dans une monographie spéciale de la 

 collection) a même établi une classilicalion de pareilles 

 fonctions discontinues. Tel est l'objet du chapitre V, 

 d'une noie de M. Lebesgue et d'une autre de M. Borel. 

 Enlin le livre contient une note de M. Painlevé, de 

 47 paires, véritable monographie aussi. Il s'agit des 

 ■fonctions analytiques ; t'(iy^a„-\-a,t-{-a..l--\- .."., c'est- 

 à-dire développables en série de Mac-l.aurin. La théorie 

 est trop profonde, les procédés d'exposition et de dé- 

 monstration sont trop abstraits pour se prêter à un 

 résumé succinct. Disons seulement qu'interviennent 

 " l'étoile d'holomorphie » (Mittag-Lefller) et la « série 

 géni-ratrice ■>, où le terme général est une fonction 

 entière de 3„, a,, ..., s„. 

 ; On voit quelle contribution considérable apporte le 

 I présent livre à nos connaissances dans ces hautes et 

 difliciles matières. Léon Auto.nxe, 



Maître de conférences U la Faculté des Sciences 

 do rUniversilù de Lyon 



Comité international des Poids et Mesures. Procès- 

 verhaiix des séances, deuxième série. Tome III, 

 Session de 1905. — 1 vol. iu-H' de 243 pages (Pri.x : 

 ■2 fr. bO). Gaiitliier-Villars, éditeur. Paris, 1905. 



Ce volume de Procès-verbaux, dont la partie admi- 

 nistrative a été recueillie et puldiée par l'éminent 

 Professeur Blaserna, secrétaire du Comité international 

 des Poids et Mesures, continue la collection très inté- 

 ressante des documents publiés parce Comité. Chaque 

 session est signalée par l'apparition de publications 

 dont l'ensemble contient toute l'histoire contemporaine 

 du Système métrique. 



Dans le corps même des Procès-verbaux, nous signa- 

 lerons tout particulièrement les très intéressants résul- 

 tats donnés dans le Rapport présenté au Comité par 

 M. Benoît, directeur du Bureau international, et des- 

 quels résulte avec évidence que l'unité de masse, 

 représentée par les étalons en platine iridié, s'est 

 conservée, depuis la distribution des étalons aux Etats 

 signataires de la Convention du mètre, avec une pré- 

 cision de l'ordre du cent-millionième, limite que les 

 mesures ne permettent guère, pour le moment, de 

 dépasser. Cette conclusion ressort de l'invariabilité 

 des équations relatives de 6 kilogrammes restés pour la 

 jilupart sans usage depuis 1889. D'autres kilogrammes, 

 employés à de nombreuses comparaisons, ont, en 

 revanche, perdu un peu de leur masse, puisque leurs 

 équations diffèrent de la moyenne des autres de 

 quelques centièmes de milligramme en moins. Il 

 résulte donc de ces mesures, en même temps qu'une 

 sécurité absolue de la conservation d'étalons très peu 

 employés, la nécessité de déterminer de temps en temps 

 ceux qui sont constamment en usage, si l'on veut pou- 

 voir répondre du centième de milligramme sur le kilo- 

 gramme, soit du cent-millionième en valeur relative, 

 exaclitude qu'heureusement bien peu de détermina- 

 tions physiques rendent nécessaire. 



Dans le même Rapport sont indiquées les valeurs 

 auxquelles conduisent d'une part les mesures de 

 M. Chappuis, d'autre part celles du regretté Macé de 

 Lépinay et de M. Buisson, en vue de déterminer la masse 

 du décimètre cube d'eau. Les résultats très coricor- 

 danls de ces mesures montrent que cette masse diiîère 

 du kilogramme seulement de 3 100.000, quantité dont 

 la petitesse fait le plus grand honneur aux métrolo- 

 gisles qui créèrent le kilogramme en partant du déci- 

 mètre cube. 



Une décision intéressante du Comité international 

 autorise l'emploi de l'appellation carat métrique pour 

 désigner, dans le commerce des pierres précieuses, la 

 masse de 200 milligrammes, comprise entre les valeurs 

 très nombreuses que l'on donne au carat en divers 

 pays, et que les bijoutiers et Joailliers ne sont pas par- 

 venus à abandonner. Cette petite concession faite à un 

 vocabulaire très répandu engagera certainement les 

 intéressés à se rallier à une valeur unique du carat, 

 dont la diveisité est la source de difficultés sans 

 nombre, sinon de supercheries faciles. 



Les Annexes, qui contiennent, comme d'habitude, le 

 détail scientifique des faits simplement énoncés dans 

 les Procès-verbaux, sont particulièrement intéressantes. 

 Une courte Note donne, pour les mètres en platine 

 iridié, une preuve de conslance analogue à celle que 

 nous avons mentionnée pour le kilogramme, puis un 

 Rapport étendu, primitivement présenté par M. Benoît 

 au Bureau international des Poids et Mesures, en vue 

 d'obtenir une modilication de la législation vieillie qui 

 régissait depuis 1840 l'emploi du Système métrique en 



