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L. LECOENU — REVUE ANNUELLE DE MÉCANIQUE APPLIQUÉE 



reprendre la queslion en lenant compte des résis- 

 tances passives. Il recherche les conditionsles plus 

 défavorables du synchronisme entre la durée d'une 

 révolution des roues motrices et la durée d'une 

 oscillation complète do la machine. Le synchro- 

 nisme simple ne se présente que pour les vitesses 

 faibles. Pour les très grandes vitesses, il peut 

 exister trois révolutions des roues motrices pen- 

 dant une oscillation complète; en général, les cas 

 de synchronisme avec multiples impairs sont les 

 plus défavorables. L'amplitude des oscillations aug- 

 mente, d'après M. Marié, jusqu'à ce que le travail 

 du frottement dû au déplacement latéral du bogie, 

 des lames de ressorts, etc., pendant l'oscillation 

 simple soit au moins égal à la demi-force vive due 

 à l'impulsion des forces perturbatrices. On s'est 

 demandé si les rouf s, par leur action gyroscopique, 

 peuvent opposer une résistance efficace à leur sou- 

 lèvement; M. Marié trouve qu'il n'en est rien. Les 

 locomotives actuelles de trains rapides, à quatre 

 cylindres, munies de bogies à déplacement latéral 

 avec frottement, ne sont généralement pas sujettes 

 à des oscillations assez fortes pour entraîner par 

 elles-mêmes des déraillements, même aux plus 

 grandes vitesses; mais il faut éviter de trop dimi- 

 nuer les frottements. Les conclusions auxquelles 

 l'auteur aboutit sont les suivantes : 1° il faut dimi- 

 nuer le plus possible les .oscillations en agissant 

 sur les causes qui les produisent; 2° il faut donner 

 au matériel de la souplesse dans tous les sens, avec 

 frottements partout suffisants pour amortir rapide- 

 ment les oscillations que l'on ne peut éviter. 



Certains constructeurs d'automobiles ont di'jà 

 imaginé d'installer des amortisseurs qui absorbent 

 par un frottement considérable la force vive d'oscil- 

 lation des ressorts : cette pratique est excellente et 

 la sécurité demanderait qu'elle fût généralisée. 



Pour les véhicules de chemins de fer, la question 

 de stabilité est plus simple que pour les locomo- 

 tives. Les iniluences dominantes sont alors la durée 

 d'oscillation des ressorts et la durée du balance- 

 ment du véhicule autour de son axe longitudinal : 

 cette dernière dépend de la forme du véhicule et 

 de la conicité des bandages. M. Sabouret, ingé- 

 nieur en chef du matériel et de la traction de la 

 Compagnie de l'Ouest, a entrepris l'étude expéri- 

 mentale des mouvements secondaires des véhi- 

 cules en marche; il emploie, à cet effet, des 

 enregistreurs appropriés. Il a pu ainsi reconnaître 

 que, dans certaines voitures, à allure médiocre, les 

 oscillations transversales de la caisse ont une fré- 

 quence double de celle des oscillations verticales 

 des ressorts de suspension : on a donc là un 

 exemple bien net d'instabilité due au synchro- 

 nisme de deux actions périodiques. Un moyen 

 radical d'éviter ces effets de synchronisme consis- 



terait à établir les divers ressorts de façon qu'il 

 n'existât aucun rapport simple entre leur durée 

 d'oscillation : procédé analogue à celui qui consiste 

 à faire rompre le pas d'une troupe de soldats au 

 passage d'un pont suspendu. 



III. — Questions iuveiises. 



§ I . — Frottement de g-liaaement. 



Parmi les causes qui inilucnceiit le rendement 

 d'une machine quelconque, l'une des plus générales 

 est le frottement de glissement. Ce frottement a 

 toujours lieu, en pratique, par l'intermédiaire de 

 surfaces lubréfiées : c'est un frottement mcd'uil, 

 auquel ne conviennent pas les lois du frottement 

 immécUiit, c'est-à-dire du frottement à sec, établies 

 par Coulomb et le général Morin. Dans la précé- 

 dente revue, j'ai indiqué les études de M. Petrolf 

 sur ce sujet. Quoi qu'il en soit, on a souvent recours, 

 dans les applications, à l'emploi des lois de Coulomb, 

 et c'est ainsi que l'on calcule, par exemple, le frot- 

 tement des engrenages. 



Les lois de Coulomb ont un caractère purement 

 empirique, et personne n'a jamais soutenu que, 

 même dans le cas du frottement immédiat, elles 

 eussent la valeur de lois mathématiques. Mais 

 M. Painlevé est allé plus loin, et il a montré qu'elles 

 conduisent à des conséquences incompatibles 

 avec les principes de la Mécanique rationnelle. 

 L'incompatibilité consiste en ceci que, dans 

 certaines circonstances, ces lois donneraient 

 pour la pression mutuelle de deux corps en 

 contact une valeur négative. Soit, par exemple, 

 un disque circulaire non homogène, lancé, sans 

 rotation initiale, dans un plan vertical, au con- 

 tact d'une planche horizontale. Si l'on admet, 

 avec Coulomb, que, pendant le glissement, le 

 rapport entre l'action tangentielle et la pression 

 normale est égal à une constante /'(coefficient de 

 frottement) dépendant uniquement de la nature 

 des surfaces en contact, on trouve que, quand les 

 surfaces sont suffisamment rugueuses, la pression 

 normale se trouve remplacée par une attraction 

 de ces surfaces, résultat inadmissible si l'on 

 suppose que rien ne s'oppose à la séparation des 

 deux corps. 



Les calculs de M. Painlevé sont faits en consi- 

 déranlles corps comme doués d'une rigidité absolue. 

 Mais on sait déjà, par l'exemple du choc, qu'il est 

 souvent indispensable de tenir compte <le l'élas- 

 ticité des solides naturels, ceux-ci n'étant jamais 

 mathématiquement rigides, et j'ai tâché d'établir 

 que cette propriété suffit pour faire disparaître, en 

 réalité, la difficulté théorique dont il s'agit. L'élas- 

 ticité, dans le cas du frottement, intervient de deux 

 manières : d'abord en permettant aux corps en 



