L. LECORNU — REVUE AN^UELLE DE MÉCANIQUE APPLIQUÉE 



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contact de s'<tplalir légèrement l'un contre l'autre, 

 ensuite en obligeant les deux corps, à l'instant où 

 ils commencent à se frôler, à s'entraîner mutuel- 

 lement par l'engrènement de leurs aspérités, de 

 façon que la couche extérieure de chaque corps 

 éprouve tout d'abord, par rapport aux couches 

 profondes, un déplacement progressif proportionnel 

 à la force tangentielle. M. Beilby en Angleterre, 

 MM. Osmond et Cartaud en France, ont trouvé 

 pxpi'rimentalement que, même dans le cas de 

 métaux polis avec le plus grand soin, les surfaces 

 manifestent ce genre d'entraînement. Il y a donc 

 une période préparatoire pendant laquelle le coef- 

 licient de frottement, d'abord nul, croît jusqu'à sa 

 limite supérieure. Ceci posé, on démontre que la 

 déformation normale et la déformation tangen- 

 tielle s'oppo«ent, chacune de leur côté, à l'appari- 

 tion de pressions négatives. Les difficultés théo- 

 riques que semblent entraîner les lois de Coulomb 

 tiennent donc uniquement à ce qu'on fait abstrac- 

 tion de l'élasticité des solides naturels et eUes sont 

 du même ordre que celles qu'on rencontre en 

 étudiant le choc de corps parfaitement polis. 



En admettant l'exactitude pratique des lois de 

 Coulomb, je me sui'^ proposé de calculer le rende- 

 ment du joint universel, ou joint de Cardan, dont 

 on connaît les applications récentes dans l'automo- 

 hilisme et dans le train Renard. Si l'on appelle A 

 l'angle des deux axes réunis par un pareil joint, 

 œ l'angle de frottement, X le rapport entre le rayon 

 des tourillons et la longueur des bras du croisillon, 

 ce rendement est égal à l'unité diminuée de la 

 quantité : 



^),smç[tg,V + logtgÇ + -^)]. 



Quand A est assez petit pour qu'on puisse négliger 

 les puissances de cet angle supérieures à la seconde, 

 l'excès de l'unité sur le rendement prend la forine 



plus simple : - AXsin a». Ces résultats concerncnl la 



disposition classique du joint universel. (Jn ren- 

 contre fréquemment dans l'industrie la disposition 

 plus simple que voici : l'un des arbres est terminé 

 par un boisseau cylindrique pourvu de fentes lon- 

 gitudinale*, et ces fentes servent à guider des coa- 

 lisseaux portés par l'extrémili' de l'autre arbre. Au 

 point de vue cinématique, le fonctionnement est le 

 même qu'avec le croisillon ordinaire; mais le frot- 

 tement s'exerce d'une autre façon. Ce rendement 

 din'ère alors de l'unité d'une quantité : 



4-^- 



= tg?Xlogt 



expression qui, pour les petites valeurs de .\, se 

 réduit sensiblement à SA/tt X tgo. Dès lors, il est 

 aisé de voir que, si le rapport X est inférieur à 



REVCE GÉXÊHALE DES SCIENCES, 1905. 



i /2 cos 9, ;unsi que cela a toujours lieu en réalité, 

 l'ancietiiie disposition est préférable au point de 

 vue de la jierle de travail due au frottement. 



§ 2. — Pivotement. 



D'après les recherches publiées en 1876 par 

 M. Léaulé, le couple résistant qui, par l'efTet du 

 frottement de glissement, prend naissance dans le 

 pivotement relatif de deux corps est proportionnel 

 à la longueur de l'ellipse limitant la petite aire de 

 contact. Ce remarquable résultat a été obtenu en 

 partant d'une hypothèse simple sur la dé'formation 

 des deux corps due à leur pression mutuelle : on 

 admet qu'en prenant pour position initiale celle oii 

 les deux corps se touchent en un seul point P, 

 avec pression nulle, le déplacement éprouvi' (avant 

 pivotement) par chaque point de l'un des corps, 

 pour venir en coïncidence avec un point de l'autre 

 corps, est parallèle à la normale commune en P et 

 que la pression finale est proportionnelle à l'écart 

 primitif des points amenés ainsi en coïncidence. 



En 1882, Hertz a appliqué la théorie mathéma- 

 tique de l'élasticité à l'étude du contact de deux 

 cnrp? pressés normalement l'un contre l'autre. 

 Comme il fallait s'y attendre,- les conclusions aux- 

 quelles il est parvenu ne concordent qu'imparfai- 

 tement avec celles qu'on déduit de l'hypothèse 

 précédente. Les déplacements, au lieu d'être nor- 

 maux au plan tangent commun, sont inclinés sur 

 ce plan, et la répartition des pressions, à J'inlérieur 

 de l'aire de contact, n'obéit pas à la loi prévue. En 

 reprenant, dans ces conditions, les calculs de 

 M. Léaulé. j'ai établi que la loi formulée par l'émi- 

 nent ingénieur conserve son exactitude, mais qu'il 

 va lieu denioditier un coefficient numérique. Dési- 

 gnant par /■ le coefficient de frottement, par P 

 la pression totale, par E la longueur de l'ellipse de 

 contact, la théorie de Hert/, conduit, pour le mo- 

 tiieiit lie |)ivotemenl, à l'expression 0,093 /EP, 

 tandis qu'avec l'ancienne théorie, on avait 0,089 

 /'KP. Il y a donc un écart de 10"/o environ. 



La théorie de Hertz permet de calculer, en fonc- 

 tion des courbures des deux surfaces, pour une 

 pression totale donnée, les deux axes de l'ellipse 

 de contact et, par conséquent, le contour E. Les for- 

 mules sont fort compliquées; mais elles se simpli- 

 fient quand on se borne à considérer le contact 

 d'une bille spliérique avec un cône, et elles ont été, 

 pour ce cas particulier, traduites en tables numé- 

 riques par M. Heerwagen. .l'ai utilisé ces tables 

 pour examiner ce qui arrive lorsqu'une bille roule 

 et pivoti' entre deux ci'mes parallèles, comme dans 

 le cas des roulements à liilles. On trouve que la 

 résistance au pivotement est plus grande au con- 

 tact du cône extérieur (la cuvette) qu'au contact du 

 cône inti'rieur. Il faut en coticlure que le pivote- 



