A. CLAUDE ET L. DRIENCOURT — LA MÉTHODE DES HAUTEURS ÉGALES 



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i" Mesure des dislances du point inconnu X aux 

 divers points connus A, B, G, ... Chariue distance 

 mesurée, telle que AX, donne un lieu géométrique 

 de X qui est le cercle décrit de A comme centre 

 avec AX comme rayon ; 



2° Mesure en cliacun des points connus A, B, C, ... 

 de ïangle que tait la direction du point inconnu 

 AX, BX, CX, ... avec celle d'un point connu AB ou 

 AC, ... BA ou BG, ... CA ou GB ... Chaque angle 

 mesuré donne un lieu géométrique de X qui est le 

 relèvement issu du point connu; 



'.i" Mesure au point inconnu X des angles AXB, 

 AXC, ... cpie font les directions des points connus 

 avec l'une d'ej)trc elles choisie pour origine. 

 Chacun de ces angles, tel que AXB. donne un lieu 

 géométrique qui est le segment capable de l'angle 

 AXB construit sur AB. 



Ces trois espèces de lieux géométriques peuvent 

 être employées concurremment pour la détermi- 

 nation de X. Connaissant une position approchée X„ 

 de X, position qu'il est toujours facile de se pro- 

 curer, soit graphiquement, soit par le calcul, en 

 prenant l'intersection de deux lieux se coupant 

 sous un angle convenable par exemple, on calcule 

 les coordonnées, par rapport à des axes X„ a', X„ y' 

 parallèles aux premiers, de quelques points de 

 chacun des lieux dans le voisinage de X„ : deux 

 suffisent si le lieu est une droite, trois si c'est un 

 cercle ; et, si X„ est suflisamment approché, on peut 

 se contenter dans tous les cas de calculer un point 

 el la direction du lieu en ce point. Sur une pro- 

 jection à une échelle plus ou moins grande, suivant 

 la précision que les mesures permettent d'espérer 

 pour A', on porte tous ces éléments de lieux qui 

 représentent la partie utile de chacun d'eux et on 

 a ainsi la traduction graphique des résultats de 

 toutes les mesures. 



Si les mesures étaient exactes et s'il n'y avait 

 pas d'erreurs sur les positions des points connus, 

 toutes ces droites concourraient en un même point 

 qui serait le point X cherché. Mais il n'en est pas 

 ainsi. Pour simplifier, supposons les points A, B, C, 

 ... connus exactement, en sorte que les lieux de X 

 ne soient affectés que des erreurs de mesure. Pour 

 choisi!' rationnellement le point à adopter, il est 

 nécessaire de connaître la précision relative des 

 différents lieux, précision qui dépend pour chacun 

 d'eux de celle de la mesure qui l'a fourni et de la 

 sienne propre. Ainsi l'erreur probable, dans le voi- 

 sinage du point X„ du relèvement AX par exemple, 

 a pour expression : 



E sin 1" X ÂX"„ , 



E étant l'erreur probable en secondes d'arc de la 

 mesure de l'angle qui a fourni le relèvement, BAX 

 par exemple. Il est clair, en effet, que l'erreur pro- 



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bable du relèvement, c'est-à-dire son déplacement 

 au point X pour l'erreur probable e sur l'angle, est 

 proportionnelle à la distance AX, ou sensible- 

 ment AX^. 



Sa précision peut être définie par l'expression 



inverse : 



\ 



Esini"xrx;' 



et son poids représenté par le carré de celle-ci, 

 soit par : 



P = — 



E-sin^ 1" X AX„* 



On trouverait de même les expressions des poids 

 des lieux des deux autres espèces, connaissant les 

 erreurs probables des mesures de l'unité de lon- 

 gueur et des angles en X. 



La théorie des erreurs nous enseigne alors 

 que le point le plus probable est celui pour 

 lequel I,Pd^ est minimum, d désignant sa plus 

 courte distance au lieu de poids P et le signe i 

 s'étendant à tous les lieux géométriques. La con- 

 struction directe dece pointsurlaprojection devient 

 très compliquée lorsque le nombre des lieux est un 

 peu grand, et il est plus simple, dans ce cas, d'avoir 

 recours au calcul. Si les poids ne sont pas connus 

 d'une façon assez précise, on peut se contenter de 

 prendre le point au jugé en se guidant d'après le 

 principe fourni par la théorie des erreurs. 



Il est évident que le point X est d'autant mieux 

 déterminé que les lieux sont en plus grand nombre 

 et qu'ils se coupent deux à deux sous des angles 

 plus grands. D'autre part, il importe qu'il soit éga- 

 lement bien déterminé dans tous les sens et, pour 

 cela, que la somme des poids des lieux dont les 

 directions sont comprises dans un même angle 

 azimutal suffisamment faible soit à peu près con- 

 stante. On peut alors définir par une quantité 

 unique l'erreur probable de position de X, ainsi 

 qu'on va le voir un peu plus loin. L'expression : 



2 / 2IP./- 



oh n est le nombre total des lieux, peut être em 

 ployée pour obtenir cette erreur 

 probable dans le cas où X est dé- 

 terminé géométriquement. 



Si les points A, B, C, ... étaient 

 afTectés d'erreurs probables a, fi, 

 Y, ..., il en résulterait pour les 

 lieux géométriques des erreurs 

 probables faciles à calculer, qui 

 viendraient s'ajouter à celles 

 provenant des erreurs d'observa- 

 tion et qui influeraient tant sur 

 le choix du point X que sur I 

 erreur probable. 



Fig. 2. 

 valeur de son 



