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A. CLAUDE ET L. DRIENCOURT — T,A MÉTHODE DES HAUTEURS ÉGALES 



yl;3a/7/;(7î;enjen^ le problème est des plus simples. 



Les formules qui donnent en coordonnées rec- 

 tangulaires la longueur D^ et 1 orienlation V* par 

 rapport à 0/ (fig. 2) de la ligne XA qui joint les 

 deux points X (x, y), A(x^, 7J, sont : 



{ A-, — .\ = D* sin V* 

 (!) ] 



( v^— v = D* cos V*. 



En les différenciant par rapport à D , V , .v, j-, .v^^, 

 y , on obtient les expressions des variations de D 

 et de V*^ en fonction de celles des coordonnées des 

 deux points : 



(2) 



(3) 



„,i — (/.\- cos V , rfr sm V 

 </v = ; : 



(iD" = — dx sin V ' — iJv cos X" 



(/x. cos V 



(Jv, sin V^ 



dD' = </.v, sin \-'' + liy^ cos V\ 



Soit X, (.v„, j'J une position approchée de X et 

 posons : 



X = .\„ + (Ix. y = v„ + dy. 



Si l'on donne à dx et à dy cette signification dans 

 les équations (2), rfV^ et f/D seront les variations 

 d'orientation et de longueur de la ligne XA quand 

 on passe de X„ à X, et en posant : 



i X, - A-„ = D* sin Vo 

 (,rA-7„ = D?cosVj, 

 on aura : 



V* = V,t+(/V*, D* = dJ + dht 



Cela posé, une mesure de la distance D donne 

 l'équation de condition : 



{i) 



dl)ô = — dx sin V„ — dy cos Vg . 



En second lieu, si l'on mesure au point A l'angle 

 entre un autre point connu R {x^, y^^) et le point 

 inconnu X, il suffit d'ajouter cet angle à l'orien- 

 tation calculée de AB ou de l'en retrancher pour 

 obtenir une valeur de l'orientation 180° -j- V de AX 

 qui fournit l'équalion de condition : 



(S) 



D*-/v; sin 1" = — dx cos Vi + dy sin Vj 



c?Vo étant exprimé en secondes d'arc. 



Enfin, si du point X on mesure l'angle entre les 

 deux points connus A et B, on a une valeur de 

 V — V qui donne une équation de condition d'une 

 troisième sorte : 



(6) d(V„^-VÏ)sin4" = 



/cosV„* cosVj'X /sin\t sin V„" 

 — dx • — -f- dv 



avec 



d(v„' - vï; = v^ - V" - (v;^ - v?) 



Posons pour abréger 



M = 



ces V„ cos Vj 



D 



N = 



sin \\] sin \'i'' 



D 



M 



sin 5 = ^; 



exprimé en secondes d'arc. 



Do 



±Vm' + n' — r, 

 (6) devient : 



(C) R'7(\t — Vj')sin l' = — dx cos 6 + rfv sin 6. 



Les équations de condition (4), (5) et (G') sont 

 de forme linéaire, si l'on y regarde dx et dy 

 comme des coordonnées courantes, et représentent 

 les tangentes aux lieux géométriques ou mieux un 

 élément de chacun de ces lieux dans le système 

 d'axes parallèles aux premiers et passant par le 

 point X„, à la condition que ce point soit suffisam- 

 ment approché, ce qu'on peut toujours vérifier 

 a posteriori. Les premiers membres sont les dis- 

 tances à l'origine; ils représentent par conséquent 

 les déplacements de chacun des lieux pour la 

 variation correspondante de l'élément mesuré 

 lorsqu'on passe de X„ à X. Et l'on aura immédia- 

 tement l'erreur probable du lieu géométrique en 

 remplaçant cette variation par l'erreur probable de 

 la mesure. Si par exemple (e)" est l'erreur probable 

 en secondes d'arc de l'angle BAX, l'erreur probable 

 du relèvement représenté par (5) sera : 



(7) (£)"D,; sin l", 



ce qui est l'expression trouvée plus haut directe- 

 ment. 



En divisant les deux membres de chacune des 

 équations (4), (o) et (6') par un facteur propor- 

 tionnel à son erreur probable, on les ramène au 

 même degré de probabilité. Il n'y a plus alors qu'à 

 les traiter par la méthode des moindres carrés pour 

 en tirer les valeursles plusprobablesderf.vetdet/j'. 



La méthode analytique est celle qu'il convient 

 d'adopter pour la détermination rigoureuse du 

 point le plus probable, lorsque le nombre des 

 équations de condition dépasse trois et que les 

 erreurs probables des mesures sont connues avec 

 assez d'exactitude. Elle permet, en outre, d'obtenir 

 assez simplement les valeurs des erreurs probables 

 Sx, Sy des coordonnées .v et y. 



Si le point X était également bien déterminé 

 dans tous les sens, les quantités 8.v et Sy seraient 

 égales et indépendantes de l'orientation des axes : 

 leur valeur commune représenterait ainsi Terreur 

 proljable de la position du point A' dans tous les 

 sens. Par analogie avec ce cas idéal, on peut, si 

 l'on admet que le point est suffisamment bien 

 déterminé dans tous les sens, prendre la quantité 



^yJ {&X]'+{&v)' 



pour définir l'erreur probable de la position de X. 



