A. CLAUDE ET L. DRIENCOURT — LA MÉTHODE DES HAUTEURS ÉGALES 



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Celte convention ofTre l'avantage que l'erreur est 

 représentée par une quantité unique et qu'elle est 

 indépendante de l'orientation des axes. 



Ce qui précède suppose que les points A, B, C, ... 

 sont exactement connus. Si leurs coordonnées 

 étaient afTectées d'erreurs probables S.v^, 8j'^, Sx^, 

 Sj'jj, etc., les équations (3) permettraient de calcu- 

 ler l'erreur probable de l'élément observé qui en 

 résulte et, par suite, celle du lieu géométrique lui- 

 même qui, combinée avec l'erreur probable prove- 

 nant de la mesure, donnerait l'erreur probable 

 totale. Prenons comme exemple le relèvement issu 

 de A. Son erreur probable d'orientation, résultant 

 des erreurs Sx^^, ày^ supposées entièrement indé- 

 pendantes, a pour expression en secondes : 



(8) (8V^) 



ev^r=±\/('!iiI2! 



D^ 



+ 



5 v^ sin V^ \ ' 



X^ 



in 1" 



et l'erreur probable totale du relèvement ou de 

 l'équation de condition (5) sera : 



(!i) isiii r'xv[U)"D„^]=+L(8vYr. 



Le problème est donc complètement résolu. 



S -i. — Détermination d'un point sur la sphère 

 immobile. 



Le problème de la détermination d'un point sur 

 la sphère supposée immobile n'est guère plus 

 compliqué que sur le plan. La mesure des distances 

 est remplacée par celle des angles au centre, la 

 mesure des angles plans par celle des angles 

 dièdres. 



La sphère dont il s'agit ici est la sphère céleste; 

 les points A, B, C, ..., X sont des astres ou le 

 zénith, seul point observable en dehors des astres, 

 et il n'y a à considérer que les angles au centre 

 comptés à partir du zénith, ou distmices zénithales, 

 et les angles dièdres ayant pour arête la verticale, 

 ou diiïérences d'azimuts. Celles-ci, suivant que le 

 zénith Z est l'un des points connus A, B, C, ..., ou 

 le point inconnu X, fournissent un relèvement ou 

 un segment capable sphérique : le premier lieu est 

 un grand cercle passant par Z, le second une 

 courbe qui diffère plus ou moins d'un cercle. Quant 

 aux distances zénithales, elles donnent des petits 

 cercles de la sphère, appelés cercles de hauteur, qui 

 ont, comme dans le cas du plan, le point observé 

 ou le zénith pour centre et la distance mesurée 

 pour rayon. Le point inconnu X sera donc déter- 

 miné par des lieux de deux espèces seulement : 

 cercles de hauteur et segments capables sphé- 

 riques si c'est le zénith, cercles de hauteur et relè- 

 vements, si c'est un astre. 



On peut encore, pour obtenir la position de X, 



combiner les lieux des deux espèces et les tracer 

 sur un plan. X„ désignant comme précédemment 

 une position approchée de X, on regarde la sphère 

 comme plane aux environs de ce point, ce qui est 

 permis dans des limites plus ou moins étroites sui- 

 vant la précision qu'on cherche pour X, et l'on dé- 

 termine à l'aide du calcul, par rapport à deux axes 

 rectangulaires X„j', X„.v représentant le méridien et 

 la tangente au parallèle de X„, un élément de cha- 

 cun des lieux dans le voisinage de X„, qu'on con- 

 struit ensuite sur une projection à une échelle 

 convenable. 11 ne reste plus alors qu'à choisir le 

 point. Il faut, pour cela, connaître les poids des 

 différents lieux ou les inverses des carrés de leurs 

 erreurs probables. Celles-ci s'obtiennent encore en 

 multipliant l'erreur probable de la mesure expri- 

 mée en secondes par le déplacement du lieu pour 

 une variation de 1" de l'élément mesuré, déplace- 

 ment dont il est facile de calculer l'expression 

 géométriquement. Pour le reste, le problème est le 

 même que celui du paragraphe précédent. 



Analytiquement, la méthode suivie pour le plan 

 s'applique identiquement à la sphère ; les formules 

 sont seulement un peu plus compliquées. Au lieu 

 des formules (l), on a les suivantes, qui donnent la 

 distance zénithale et l'azimut d'un astre A : 



r cos '^ cos S cos), -|- sin S sin X cos ISlT — a) 



(10) i sin $ cos Z ^ cos 8 sin > — sin 6 cosX cos 15(T — a) 



(sin!;sinZ= —sin 8 sin 15 (T — a), 



en désignant par : 



Ç, la distance zénithale: 



S etX, la distance polaire de A et la colatitude 

 comptées deO" à 180° à partir du pôle Nord; 



Z, l'azimut compté de 0" à 360° du Nord vers 

 l'Est; 



a et T, l'ascension droite de A et celle du zénith 

 (ou heure sidérale) comptées de à 24 heures du 

 méridien du point y vers l'Est. 



De ces trois formules, il n'y en a naturellement 

 que deux qui sont indépendantes. 



Les formules (2) et (3) sont remplacées par celles 

 qui donnent les variations de distance zénithale et 

 d'azimut en fonction des variations des coordon- 

 nées du zénith et de l'astre : 



(H) 



(1 



i 



,) 



( tf,'C'(/Z— 1.jcos),c/T) = 

 sin C d'A 



cosZdX — 15 sin Xsin ZdT 



— sin Z(A — 15 cos X cos ZdT 



cos AdB — 15 sin 5 sin Ado: 



— sin AdS — 15 sin S cos Ada, 



A désigne l'angle à l'astre compté, comme Z, de 

 0° à 360° du Nord vers l'Est. 



Les équations de condition correspondant aux 

 trois espèces de mesures se forment ensuite 

 comme les équations (-4), {ti), {&). Z„ (\, 13 TJ et 



