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D r HILBERT — PROBLÈMES MATHÉMATIQUES 





PROBLÈMES MATHÉMATIQUES 



Quels seront les buts particuliers auxquels ten- 

 dront 1rs principaux génies mathématiques des 

 générations à venir? Quelles nouvelles méthodes et 

 quels nouveaux faits restent à découvrir, dans le 

 riche et large champ de la pensée mathématique? 



L'histoire de la Science nous enseigne la conti- 

 nuité de son développement. Nous savons que 

 chaque époque a ses problèmes propres, que 

 l'époque suivante résout ou laisse de côté comme 

 stériles pour les remplacer par d'autres. Si nous 

 voulons nous faire une idée du développement 

 probable du savoir mathématique dans les temps 

 qui vont nous suivre immédiatement, il nous faut 

 passer en revue les questions que se pose la Science 

 présente et dont elle attend la solution de l'avenir. 



11 est difficile et souvent impossible de préjuger 

 exactement la valeur d'un problème; cette valeur 

 se décide, en fin de compte, par le gain qu'il pro- 

 cure à la Science. Nous pouvons cependant nous 

 demander s'il existe des signes généraux capables 

 de nous faire reconnaître les problèmes utiles. 



Un tel problème doit tout d'abord être bien 

 défini ; son sens et sa portée doivent être faciles à 

 saisir. Puis, il faut qu'un problème mathématique 

 soit difficile, alin de nous attirer, mais non complè- 

 tement inabordable, pour ne pas déjouer tous nos 

 efforts. 



Les mathématiciens des siècles passés avaient 

 l'habitude de s'adonner avec un zèle passionné à 

 la solution de quelques problèmes difficiles. Je rap- 

 pellerai, à cet égard, le problème posé par Jean 

 Bernoulli, de la ligne de plus courte descente. 

 L'expérience montre, dit Bernoulli en publiant 

 l'énoncé de ce problème, que rien n'excite plus les 

 grands esprits à travailler pour l'augmentation du 

 savoir, que les problèmes difficiles et en même 

 temps utiles qu'on leur propose; aussi, espère-t-il 

 mériter la reconnaissance du monde mathématique 

 en lisant, a l'exemple d'hommes comme Mersenne, 

 Pascal, Fermai, Yiviani,une question au\ analystes, 

 pour leur permettre de juger de l'excellence de 

 leurs méthodes el de mesurer leurs forces. C'est à 

 ce problème de Bernoulli et à d'autres semblables 

 que le Calcul des Variations doit son origine. 



De même, le problème bien connu de Fermai 

 sur L'équation ,v" -f- 7" = z v nous offre un exemple 

 frappant de L'action qu'un problème très spécial et, 

 en apparence, peu important peut exercer sur la 

 marche de la Science. C'est le problème de Fermai 

 qui a suggéré à Kummer L'introduction des idéaux 

 el la décomposition des nombres d'un corps issu 

 de La division du cercle en idéaux premiers, pro- 



position qui, étendue à tous les corps algébriques 

 a pris place au centre même de la Théorie des Nom- 

 bres moderne et dont la signification s'étend, bien 

 au delà des frontières de la Théorie des Nombres, 

 au domaine de l'Algèbre et de la Théorie des Fonc- 

 tions. 



Pour parler "d'un tout autre domaine de recher- 

 ches, je rappellerai le problème des /rois corps. 

 M. H. Poincaré a entrepris de traiter à nouveau 

 cette difficile question et d'approcher d'avantage 

 de la solution, et c'est à cette circonstance que nous 

 devons les méthodes si fécondes et les principes à 

 si haute portée dont ce savant a enrichi la Méca- 

 nique Céleste'. 



Je dirai un mot des conditions qu'il est légitime 

 d'imposer à la solution d'un problème mathéma- 

 tique : parmi ces conditions, j'ai, avant tout, en 

 vue celle qui consiste à répondre à la question par 

 un nombre fini de raisonnements fondés sur un 

 nombre fini d'hypothèses venant de la position 

 même du problème et que l'on doit toujours for- 

 muler exactement. Cette exigence de la déduction 

 logique par un nombre fini de conclusions n'est 

 autre que l'exigence de la rigueur dans la démons- 

 tration. C'est, d'ailleurs, une erreur de croire que 

 cette rigueur soit l'ennemie de la simplicité. De nom- 

 breux exemples nous montrent, au contraire, la 

 méthode rigoureuse comme étant en même temps 

 la plus simple et la plus aisée à saisir. En même 

 temps, le souci de la rigueur ouvre la voie à des 

 méthodes plus susceptibles de développement que 

 les anciennes. C'est ce qui est arrivé pour la théorie 

 des courbes algébriques (par l'application de la 

 Théorie des Fonctions) el surtout pour le Calcul des 

 Variations. 



D'autre part, en posant la rigueur de démonstra- 

 tion comme condition d'une solution parfaite, je 

 suis en même temps opposé a celle idée que les 

 notions de l'Analyse, — ou mieux encore celles de 

 L'Arithmétique — soient seules susceplibles d'un 

 traitement entièrement rigoureux. Cette opinion, 

 qui a trouvé' parfois les représentants les plus au- 

 torisés, je la tiens pour complètement erronée : 

 une interprétation aussi étroite de la nécessité de 

 la rigueur nous conduirait à l'ignorance de toutes 

 les notions issues de la Géométrie, de la Mécanique 

 el de la Physique, à L'interruption de tout apport 

 de nouveaux matériaux fournis par le monde exté- 

 rieur, et même, finalement, au rejel des notions du 

 continu et du nombre irrationnel. Mais, quel nerf 



1 Voyez l'article de M. PoikcarI dans la /.Vi ut 'la l> jan- 

 vier 1891, t. Il, p. I et suiv. 



