D r HILBERT — PROBLÈMES MATHÉMATIQUES 



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vilal si -rail enlevé aux Mathématiques si l'on retran- 

 chait la Géométrie ou la Physique mathématique! 

 Je pense, au contraire, que partout où, soit la ( iéo- 

 métrie, soil les Théories de la Philosophie natu- 

 relle, introduisent des concepts mathématiques, il 

 incombe aux Mathématiques d'élucider les prin- 

 cipes qui sont à la hase de ces concepts et de faire 

 reposer ces principes sur un système simple el 

 complet d'axiomes, de telle sorte que ni par leur 

 précision, ni par la manière dont ils se prêtent 

 a la déduction, les nouveaux concepts ne le cèdent 

 en rien aux anciennes notions arithmétiques. 



J'ajouterai quelques remarques sur les difficul- 

 tés que peuvent offrir les problèmes mathématiques 

 et la manière dont nous surmontons ces difficultés. 



Lorsque la réponse à une question quelconque 

 persiste à nous échapper, la raison en est souvent 

 que nous n'avons point reconnu le point de vue 

 général d'où le problème proposé apparaît comme 

 appartenant à une chaîne de problèmes de la même 

 famille et où il suffit de se placer pour simplifier la 

 solution de tous ces problèmes. On peut prendre 

 comme exemple l'introduction des intégrales prises 

 suivant des chemins imaginaires dans la Théorie des 

 Intégrales définies par Cauchy, el celle des idéaux 

 dans la Théorie des Nombres, par Kummer. 



Un rôle plus important encore est, à mon sens, 

 dévolu, dans la recherche des problèmes, à la spé- 

 cialisation. Dans la plupart des cas peut-être, où l'on 

 cherche en vain la solution d'une question, cet in- 

 succès provient de ce que des problèmes plus sim- 

 ples el plus faciles que celui qu'on se propose n'ont 

 pas encore été ou ont été imparfaitement éclaircis. 

 On est donc conduit à trouver quels sont ces pro- 

 blèmes plus faciles et à les résoudre par les mé- 

 thodes les plus parfaites possible et les plus sus- 

 ceptibles de généralisation. 



Il arrive, parfois, que l'on cherche la réponse à 

 l'aide d'hypothèses insuffisantes ou d.ins un sens 

 erroné' et que l'on n'arrive pas au but par suite de 

 celte circonstance. Alors se pose la question de 

 prouver l'impossibilité de la solution avec les hypo- 

 thèses données et dans le sens demandé. C'est ainsi 

 que d'antiques et difficiles problèmes: — démons- 

 tration de l'axiome des parallèles; quadrature du 

 cercle; résolution par radicaux des équations du 

 5 e degré — ont reçu, quoique dans un sens diffé- 

 rent de celui que l'on avait eu en vue primitive- 

 ment, une solution complètement satisfaisante et 

 rigoureuse. 



Ce fait remarquable est une des raisons qui font 

 naître en nous une conviction, partagée certaine- 

 ment par tout mathématicien, mais que personne, 

 jusqu'à présent, du moins, n'a étayée sur une dé- 

 monstration : je veux parler de la conviction que 

 toute question mathématique précise est susceptible 



HEVL'8 GÉNÉRALE DES SCIENCES, 1900 



d'être élucidée rigoureusement, soit qu'on arrivi à 

 donner la solution de la question posée, soit qu'on 

 arrive à démontrer l'impossibilité de cette solution. 

 // n'y ;i pus if ci ignorabimus • en Mathématiques. 

 Infinie est la multiplicité des problèmes qui se 

 posent. Hue l'on me permette de donner, connue 

 échantillons, un certain nombre de problèmes em- 

 pruntés aux différentes disciplines des Mathéma- 

 tiques el qui paraissent propres .1 faire avancer la 

 Science. 



1. — PROBLEMES RELATIFS AUX NOTIONS F0NDAMENTAL1 -. 



| I — Problème de Cantor sur la puissance 

 du continu. 



Deux systèmes, autrement dit deux ensembles 

 île nombres réels ordinaires ou de points . sonl 

 dits, d'après Cantor, équivalents ou de môme puis- 

 sance, lorsqu'on peut établir entre eux une relation 



telle qu'à chaque nombre du premier ensemble en 



corresponde un et un seul du sec I. i.es recher- 

 ches de Cantor sur de tels ensembles de points 

 rendent 1res vraisemblable une proposition donl 

 ce peu liant la démonstration n'a pu être obtenue, en 

 ilepii d'efforts les plus persévérants, el qui s'énonce 

 ainsi : 



Tout système de quantités réelles en nombre in- 

 fini, c'est-à-dire tout ensemble infini de nombres 

 (ou de points . esl équivalent soil à l'ensemble des 

 entiers naturels 1, 2, 3..., soil à l'ensemble de tous 

 les nombres réels el. par conséquent, au continu, 

 c'est-à-dire à l'ensemble formé par les points d'un 

 segment; au sens de T équivalence, il n'j a, d'après 

 cela, que deux ensembles de nombres : Fensemble 

 numérable et le continu. 



De celle proposition résulterait encore que le 

 continu est la première puissance après celle des 

 ensembles numérables; sa démonstration jetterait 

 donc un pont cuire l'ensemble numérable el le 

 continu. 



Rappelons encore une autre assertion très remar- 

 quable de Cantor, en rapporl étroit avec la propo- 

 sition précédente et qui fournirai: peut-être la clef 

 de la démonstration demandée. Un système de 

 nombres est dit ordonne lorsque, de deux nombres 

 quelconques du système, il est spécifié lequel est. 

 ïantérieur et lequel le postérieur, cette spécifi- 

 cation étant telle que si a est antérieur à b et h à 

 e, a est aussi forcément antérieur à c. L'ordre 

 naturel des nombres d'un système est celui dans 

 lequel le plus petit est qualifié d'antérieur, le 

 plus grand de postérieur; mais il existe évidem- 

 ment une infinité d'autres ordres possibles pour 

 un système quelconque. 



lu ordre déterminé quelconque assigné à un 



