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D r HILBERT — PROBLÈMES MATHÉMATIQUES 



système de nombres permet évidemment d'ordonner 

 tout système partiel extrait du premier. Cantor con- 

 sidère alors en particulier les ensembles qu'il 

 appelle bien ordonnés, caractérisés par cette cir- 

 constance que non seulement l'ensemble lui-même, 

 mais chacune de ses parties renferme un nombre 

 antérieure tous les autres. Le système des nombres 

 entiers dans leur ordre naturel est manifestement 

 bien ordonné. Par contre, le continu dans son ordre 

 naturel n'est pas bien ordonné : car, si nous en 

 extrayons un ensemble partiel composé de tous les 

 points d'un segment de droite à l'exception du 

 point initial, cet ensemble partiel n'aura pas de 

 premier élément. La question se pose alors de sa- 

 voir si l'ensemble de tous les nombres ne se laisse- 

 rait pas ordonner d'une autre façon, de manière 

 que chaque partie de l'ensemble ait un premier élé- 

 ment, c'est-à-dire si le continu peut être envisagé 

 comme un ensemble bien ordonné. Cantor croit à 

 une réponse aflirmalive. Il me semble hautement 

 désirable d'obtenir une démonstration directe de 

 cette vue de Cantor, par exemple en indiquant un 

 ordre qui possède la propriété indiquée. 



§2. — Axiomes de l'Arithmétique. 



Lorsqu'on veut approfondir les principes d'une 

 Science, on a. à constituer un système d'axiomes 

 représentant exactement et complètement toutes 

 les relations qui existent entre les notions élémen- 

 taires de cette Science. Les axiomes ainsi constitués 

 sont en même temps les définitions de ces notions 

 élémentaires, et une proposition quelconque appar- 

 nant au domaine de la Science actuellement examinée 

 n'est valable qu'autant qu'elle dérive, par des raison- 

 nements en nombre fini, du système des axiomes. 

 On doit ensuite se demander si quelques-ans de ces 

 axiomes ne se commandent pas mutuellement, ou si 

 ces axiomes ne renferment pas de parties com- 

 munes qu'il faut laisser de côté si Ton veut obtenir 

 un système d'axiomes indépendants. 



Mais, avant toute autre question relative aux axio- 

 mes, je voudrais signaler, comme la plus impor- 

 tante, celle qui consiste à montrer que ceux-ci sont 

 compatibles entre eux, c'est-à-dire qu'on ne peut 

 fonder sur eux aucun système (!/■ conclusions 

 logiques en nombre Uni conduisant a des résultats 

 contradictoires. 



En Géométrie, cette preuve se fait par la construc- 

 tion d'un système, de nombres, tels qu'aux axiomes 

 géométriques correspondent, des relations analo- 

 gues entre ces nombres et que, par conséquent, toute 

 contradiction entre ceux-là se montrerait égale- 

 ment dans celles-ci; autrement dit, en ramenant la 

 compatibilité des axiomes géométriques à celle des 

 axiomes arithmétiques. Mais, pour ces derniers, la 

 démonstration devra se faire par une voie directe. 



Je suis convaincu que l'on doit arriver à cette dé- 

 monstration en modifiant d'une manière convenable 

 les méthodes usitées dans la théorie des nombres 

 irrationnels. 



Les axiomes de l'Arithmétique ne sont au fond 

 autres que les lois connues du calcul, avec addition 

 de l'axiome de continuité. Je les ai énoncés récem- 

 ment', en remplaçant l'axiome de continuité par 

 deux autres plus simples, qui sont l'axiome connu 

 d'Archimède et un axiome (axiome d'intégrité) 

 d'après lequel, les nombres forment un système 

 d'objets auquel on ne pourrait rien ajouter en con- 

 servant tous les autres axiomes. 



La preuve de la compatibilité des axiomes arith- 

 métiques n'est autre que celle de l'existence mathé- 

 mathique du continu. Elle enlèverait tout fonde- 

 ment aux objections qui ont quelquefois été 

 formulées contre l'existence du système des nom- 

 bres réels. Celui-ci serait alors envisagé, non 

 comme l'ensemble de toutes les fractions décimales 

 (ou l'ensemble de toutes les lois de formation de 

 séries fondamentales), mais comme un ensemble 

 d'objets régis par les axiomes précédemment cons- 

 titués et entre lesquels sont vraies toutes les propo- 

 sitions, et celles-là seulement qui sont (par des dé- 

 ductions en nombre fini) conséquences de ces axio- 

 mes. Je suis persuadé qu'on montrerait de même 

 l'existence (au sens que je viens d'indiquer) des 

 ensembles canloriens de puissance supérieure. Par 

 contre, pour l'ensemble de toutes les puissances 

 (ou des alephs cantoriens), on peut démontrer 

 qu'on ne saurait constituer un système d'axiomes 

 compatibles (à mon sens), de sorte qu'on ne doit 

 pas, d'après ma définition, considérer cet ensemble 

 comme une idée ayant une existence mathéma- 

 tique. 



^ :i. — Etude mathématique des axiomes 

 • de la Physique. 



Les recherches faites sur les principes de la Géo- 

 métrie nous conduisent à essayer de traiter sur le 

 même modèle les théories physiques où les Mathé- 

 matiques jouent déjà un rôle : celles-ci sont tout 

 d'abord le Calcul des Probabilités et la Mécanique. 



En ce qui concerne les axiomes du Calcul des Pro- 

 babilités, il me paraît désirable de joindre à leur- 

 étude logique un développement rigoureux et satis- 

 faisant de la méthode des moyennes en Physique 

 mathématique, spécialement en Théorie cinétique 

 des gaz. 



Relativement aux principes de le Mécanique, il a 

 été fait d'importants travaux du côté des physi- 

 ciens : j'ai en vue les écrits de MM. Mach, Hertz, 



1 Jahresbericht der Deutschen Mathemaliker Vereioi- 

 yiiin.i. vol. VIII, 1D0O, p. 180. 



